LÓGICA DE PROPOSICIONES
La lógica de proposiciones es el antecedente histórico del Álgebra de Boole y está basada en la lógica clásica o tradicional. Se explicarán algunos conceptos básicos tendientes a establecer una expresión lógica simbólica a partir de un enunciado.
Elija algún subtema haciendo clic sobre él.
1. Juicio, proposición y sentencia
2. Conectivas Lógicas
3. Tablas de verdad
4. Tautología
5. Traducción de español a Conectivas Lógicas
6. Aplicaciones
7. Ejercicios
1. JUICIO, PROPOSICIÓN Y SENTENCIA
La lógica clásica o tradicional, la de inspiración aristotélica, se define como un conjunto de leyes generales del pensamiento, y ésta a su vez, define al juicio como el acto mental por medio del cual pensamos cualesquier enunciados, tales como:
10 + 5 = 15................................................................................................................ (1)Ramírez es un buen jugador de tenis......................................................... .... (2)Juan estudia................................................................................................... ....... (3)
La proposición se define como una oración declarativa que puede ser verdadera (V,1) o falsa (F,0). Cuando una proposición expresa una sola idea en su forma más simple, se dice que es una proposición simple o atómica. Las proposiciones atómicas son como sigue:
Carlos es un buen deportista............................................................................. (4)El padre de Carlos es feliz................................................................................... (5)
Ahora bien, si una proposición reúne a más de una proposición simple o atómica, se dice que es una proposición compuesta o molecular. Para formar una proposición compuesta o molecular se hace necesario emplear un elemento de enlace entre las proposiciones simples o atómicas, a los cuales se les denomina conectivas lógicas.
2. CONECTIVAS LÓGICAS
Se definen básicamente 5 elementos cuyos propósitos son enlazar las proposiciones simples o atómicas:
La CONJUNCIÓN: La conjunción se representa por v y se lee y.
La DISYUNCIÓN: Se divide en disyunción inclusiva que se representa por w y se lee o; o también se lee como uno u otro o ambos. La disyunción exclusiva se representa por ¹ y se lee como O exclusiva, o también como uno u otro pero no ambos.
CONDICIONAL: Se representa por medio de una flecha 6 y se lee si.....entonces.....
BICONDICIONAL: Se representa por º o ø (relación de equivalencia) y se lee .....si y sólo si....., o también como condición necesaria y suficiente.
NEGACIÓN: Se lee como no, es falso que, no es verdad que; y hay muchas formas de representarlo (', $ ,...)
Ahora, estamos en posibilidad de formar proposiciones moleculares. Podemos utilizar los enunciados del (1) al (5):
10+5 = 15 y Ramírez es un buen jugador de tenis (1)10+5 = 15 o Juan estudia (2)si Carlos es un buen deportista entonces el padre de Juan es feliz (3)El padre de Carlos es feliz si y sólo si Carlos es un buen deportista (4)Es falso que el padre de Juan es feliz (5)
Como se observa en los ejemplos del (1) al (5), para trabajar con la lógica de proposiciones, resulta difícil manejar éstos como elementos de una nueva álgebra, motivo por el cual se tratan de simbolizar estas proposiciones. A esta simbolización se les denomina sentencias, por éstas se entiende como una serie de signos por medio de los cuales se expresan proposiciones.
Las sentencias se simbolizan mediante letras, llamadas letras sentenciales, las cuales pueden ser: p, q, r, s, t,..., en donde cada letra sentencial representa un enunciado declarativo (una proposición).
EJEMPLOS
1. p = (10+5=15) q = Ramírez es un buen jugador de tenis
p v q
2. r = Juan estudia
p w r
3. s = Carlos es un buen deportista t = el padre de Carlos es feliz
s 6 t
4. t º s o t ø s
5. t'
3. TABLAS DE VERDAD
Hasta ahora nos hemos referido a las letras y esquemas sentenciales sin tener en cuenta si eran verdaderas o falsas. Un principio que establecer es este:
P1. Todo enunciado es verdadero o falso
Este principio significa que a todo enunciado se le puede asignar uno de los siguientes predicados: verdadero o falso, y lo simbolizaremos con las letras V o F, respectivamente.
Otro principio es:
P2. Los valores de verdad de cualquier fórmula molecular (esquema sentencial) están determinados por los valores de verdad de las fórmulas componentes
Con la ayuda de estos principios se pueden formar las llamadas TABLAS DE VERDAD, las cuales se usan para determinar de un modo sistemático la verdad o falsedad de las fórmulas.
Comenzaremos con las tablas de verdad correspondientes a las conectivas lógicas presentadas anteriormente.
1. La tabla de verdad para una sola letra sentencial es:
p
FV
Lo cual indica que dada una letra sentencial hay para ella 2 posibilidades, una que sea verdadera y otra que sea falsa.
2. La tabla de verdad para 2 letras sentenciales es:
p
q
FFVV
FVFV
Lo cual indica que dadas 2 letras sentenciales hay para ellas 22 posibles combinaciones y en general para n letras, hay 2n combinaciones.
3. La tabla de verdad para p v q es:
p
q
p v q
FFVV
FVFV
FFFV
Lo cual indica que la conjunción de p y q es verdadera si y sólo si p y q son verdaderas, de otra manera p v q es falsa.
4. La tabla de verdad para p w q es:
p
q
p w q
FFVV
FVFV
FVVV
Lo cual indica que la disyunción de p o q será verdadera si y sólo si p o q o ambas son verdaderas. De otra manera p w q es falsa.
5. La tabla de verdad para la disyunción exclusiva es:
p
q
p r q
FFVV
FVFV
FVVF
Lo cual indica que la disyunción de p r q será verdadera si y sólo si p o q son verdaderas, pero no ambas.
6. La tabla de verdad de p 6 q es:
p
q
p 6 q
FFVV
FVFV
VVFV
Sólo en este caso, a la letra sentencial p se le denomina antecedente y a la letra sentencial q se le denomina consecuente.
Por tanto, la tabla de verdad para p 6 q establece que solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la fórmula será falsa y en todos los demás casos es verdadera.
7. La tabla de verdad para p º q o p ø q es:
p
q
p º q
FFVV
FVFV
VFFV
Lo cual indica que la bicondicional p º q será verdadera si y sólo si ambas componentes tienen el mismo valor de verdad.
Obsérvese que las tablas de verdad 5 y 7 se complementan entre sí; por tal razón se utiliza para la bicondicional el símbolo de la relación de equivalencia º y para la disyunción exclusiva ¹, esto es porque una es el complemento de la otra.
8. La tabla de verdad para no p (p')es:
p
p'
FV
VF
Lo cual indica que cuando una fórmula es verdadera, su negación es falsa y viceversa.
Las tablas de verdad, como se mencionó anteriormente, se construyen para comprobar metódicamente el valor de verdad de las fórmulas o para verificar la relación de equivalencia (igualdad) de las fórmulas.
A continuación se presentan algunos ejemplos:
1. Demostrar que p 6 q = p' w q
SOLUCIÓN
p
p'
q
p 6 q
p' w q
FFVV
VVFF
FVFV
VVFV
VVFV
^
^
SON IGUALES
2. Demostrar que (p º q) = (p 6 q) v (q 6 p)
SOLUCIÓN
p
q
(p º q)
(p 6 q)
v
(q 6 p)
FFVV
FVFV
VFFV
VVFV
VFFV
VFVV
^
^
SE VERIFICA
3. Dada la siguiente fórmula, determine sus valores de verdad:
[(p v q) 6 p]'
SOLUCIÓN
p
q
[(p v q)
6
p]
'
FFVV
FVFV
FFFV
VVVV
FFFF
4. Dada la fórmula siguiente, determinar sus valores de verdad:
[(p 6 q) v (q 6 r)] 6 (p 6 r)
SOLUCIÓN
p
q
r
[(p 6 q)
v
(q 6 r)]
6
(p 6 r)
FFFFVVVV
FFVVFFVV
FVFVFVFV
VVVVFFVV
VVFVFFFV
VVFVVVFV
VVVVVVVV
VVVVFVFV
4. TAUTOLOGÍA
Se puede observar que al construir las tablas de verdad en los ejemplos anteriores, se presentaron tres casos:
1. La tabla de verdad de la fórmula dada contenía tantos verdaderos (V) como falsos (F)
2. La tabla de verdad de la fórmula dada contenía sólo falsos (F)
3. La tabla de verdad de la fórmula dada contenía sólo verdaderos (V)
La fórmula del primer tipo se denomina indeterminada. Las fórmulas del segundo tipo se denominan contradicciones y las del tercer tipo se denominan tautologías o fórmulas sentencialmente válidas.
IDENTIDAD: p 6 p ; p º p
CONTRADICCIÓN: [p v (p')]'
TERCERO EXCLUIDO: [p w (p')]
Lo cierto es que en esta parte, la tautología se usará para determinar la validez de un argumento.
Un argumento es un enunciado en el cual, de un conjunto de premisas (A, B, C, D,..., etc.), se obtiene una premisa llamada conclusión Q. Cada premisa puede estar formada por una o más proposiciones.
Luego entonces, se dice que un argumento es válido si la tabla de verdad formada de la siguiente manera:
(A v B v C v D ...) 6 Q; es una tautología
EJEMPLOS
Encontrar si los argumentos siguientes son o no válidos:
1. Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cine. Miguel fue al cine. Por tanto, Marta fue al cine.
SOLUCIÓN
Determinamos cada una de las premisas, así como también la conclusión.
A = Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cineB = Miguel fue al cineQ = Marta fue al cine
Pero como se dijo anteriormente, cada premisa puede estar formada por una o más proposiciones, por lo que se da el caso que la premisa A puede representarse sentencialmente de la siguiente manera:
p = Marta fue al cineq = Miguel fue al cine
Por tanto:
A = p 6 qB = qQ = p
La fórmula queda:
[(p 6 q) v q] 6 p
Si la tabla de verdad resulta una tautología, el argumento será válido.
Tabla de verdad
p
q
[(p 6 q)
v
q]
6
p
FFVV
FVFV
VVFV
FVFV
VFVV
Como se observa de la tabla de verdad, el argumento no es válido, porque no se obtuvo una tautología.
2. Al ejemplo anterior solamente se cambiará el orden de alguna de las premisas.
A = Si Marta fue al cine entonces Miguel fue al cineB = Marta fue al cineQ = Miguel fue al cine
SOLUCIÓN
A = p 6 q B = p Q = q
Por lo tanto, el argumento queda expresado como:
[(p 6 q) v p] 6 q
Tabla de verdad
p
q
[(p 6 q)
v
p]
6
q
FFVV
FVFV
VVFV
FFFV
VVVV
El resultado obtenido es una tautología, y por tanto, el argumento es válido.
5. TRADUCCIÓN DE ESPAÑOL A CONECTIVAS LÓGICAS
Como se verá posteriormente, una de las partes más difíciles del diseño lógico, consiste en pasar del enunciado verbal del problema a una tabla funcional o a una expresión lógica. Para ayudar un poco con este problema, a continuación se presenta una tabla que contiene algunas de las conjunciones españolas más usadas y su traducción lógica.
CONECTIVA LÓGICA
TRADUCCIÓN LÓGICA
1. No p2. p y q3. p o (inclusiva) q p o q o ambas4. p o (exclusiva) q p o q pero no ambas5. p o q6. p aunque q7. p a condición de que q8. p si q9. si p entonces q10. p implica q11. p siempre y cuando q12. p tanto como q13. p si y sólo si q14. no ambas p y q15. es falso que p y q16. no es cierto que p o q17. ni p ni q18. cuando p entonces q19. p a no ser que q20. p a condición necesaria y suficiente que q21. A a menos que B
1. p'2. p v q3. p w q4. p ¹ q (p v q') w (p' v q)5. p w q6. p v q7. q 6 p q' w p8. q 6 p q' w p9. p 6 q p' w q10. p 6 q p' w q11. q 6 p q' w p12. p v q13. p º q (p v q) w (p' v q')14. (p v q)' p' w q'15. (p v q)' p' w q'16. (p w q)' p' v q'17. p' v q' (p w q)'18. p 6 q p' w q19. q' 6 p q w p20. p º q (p v q) w (p' v q')21. B' 6 A B w A
6. APLICACIONES
En esta sección se tratan de resolver algunos ejemplos en donde se aplican los conceptos vistos en esta unidad.
1. Como se mencionó en la sección 5, uno de los problemas más difíciles es pasar del enunciado a una tabla funcional y posteriormente encontrar los dispositivos adecuados para la realización física del problema expuesto. Uno de esos dispositivos son los sistemas de relevadores y contactores. A continuación se muestra la instrumentación de cada una de las conectivas con estos dispositivos.
1.1 NEGACIÓN
p
p'
FV
VF
1.2 CONJUNCIÓN
p
q
p v q
FFVV
FVFV
FFFV
1.3 DISYUNCIÓN INCLUSIVA
p
q
p w q
FFVV
FVFV
FVVV
1.4 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
p
q
p ¹ q
FFVV
FVFV
FVVF
1.5 CONDICIONAL
p
q
p 6 q
FFVV
FVFV
VVFV
1.6 BICONDICIONAL
p
q
p º q
FFVV
FVFV
VFFV
2. Condiciones que deben reunirse para que sea posible fumar. Por una parte deben tenerse cerillos o encendedor, por otra parte, cigarrillos o una pipa y tabaco, pero no se debe estar en presencia de una atmósfera explosiva.
SOLUCIÓN
Lo primero que hay que hacer es determinar las variables:
F = Posibilidad de fumarC = CerillosE = EncendedorB = CigarrosP = PipaT = TabacoA = Atmósfera explosiva
Una vez determinadas las variables, hay que identificar las conectivas lógicas que enlazan a cada una de las variables (proposiciones atómicas) y formar la expresión lógica.
F = {(C w E) v [B w (P v T)]} v A'
3. Determine la expresión lógica que describe el siguiente problema:
El flujo de agua que llega a una solución de salmuera que se emplea en un proceso químico, se cortará solamente si:
a) El tanque está lleno b) La salida del tanque no se cierra, la concentración de sal no exceda al 2.5% y el nivel del agua no esté por debajo de un cierto nivel mínimo especificado
SOLUCIÓN
Determinación de las variables:
Q = Flujo de agua T = Tanque lleno S = Salida del tanque C = Concentración de sal no exceda el 2% N = Nivel mínimo de agua especificado
La expresión lógica es:
Q' = T w (S' v C v N')
4. En un banco, un sistema de alarma contra robo funcionará sólo si se activa el conmutador maestro en la estación de policía. De acuerdo a esta condición, la alarma sonará si la puerta de la bóveda es perturbada en cualquier forma, o si la puerta del banco se abre, a menos que primero se opere un interruptor especial, utilizando la llave del velador. La puerta de la bóveda está equipada con un sensor de vibración que hará que se cierre un interruptor cuando se perturbe dicha puerta, y se montará dicho interruptor sobre la puerta del banco, de tal manera que se cerrará siempre que la puerta del banco se abra.
SOLUCIÓN
Determinación de las variables:
I = Conmutador maestro de la policía activado P = Puerta de bóveda perturbada B = Puerta del banco abierta V = Interruptor general especial operado por el velador A = Alarma sonará
La expresión queda:
A = I v [P w (B v V)]
5. Considerando que se tienen dos letras sentenciales (variables), determinar:
a) El número de combinacionesb) El número de resultados (funciones) de estas combinacionesc) Por medio de la construcción de una tabla, identificar cada función de acuerdo a las conectivas y tablas de verdad vistas anteriormente.
SOLUCIÓN
a) Número de combinaciones igual a 2n
Si n = 2, entonces: No. de combinaciones = 4
Tabla funcional
p
q
f
FFVV
FVFV
?
b) Número de funciones es igual a (22)n
Si n = 2, entonces: No. de funciones = (22)2 = 16
c) De a) y b), se obtiene la siguiente tabla:
De la tabla se observa que únicamente f5 y f12 son funciones no conocidas, pero identificando a cualquiera de ellas, automáticamente se identifica la otra, ya que son complementarias entre si.
Si aislamos f5 y f12:
p
q
f5
f12
p' v q
(p' v q)'
FFVV
FVFV
FVFF
VFVV
FVFF
VFVV
Por tanto:
f5 = p' v q y f12 = (p' v q)' = p w q'
La pregunta obligada podría ser ¿cómo se obtuvo tal resultado? En realidad es muy fácil utilizando conceptos que se verán en minimización de funciones de conmutación, de otra manera tendría que utilizarse el método de prueba y error.
6. Determinar la expresión lógica que representa el siguiente problema:
El contrato para la adquisición de la póliza #22, podría extenderse si el solicitante cumple las condiciones:
1. Se le ha extendido la póliza #19 y es casado de sexo masculino, o2. Se le ha extendido la póliza #19 y es casado de menos de 25 años, o3. No se ha extendido la póliza #19 y es casada de sexo femenino, o4. Es de sexo masculino menor de 25 años, o5. Es casado de 25 años o mayor.
SOLUCIÓN
Como en los ejemplos anteriores, hay que determinar las variables y los elementos de enlace:
D = El solicitante tiene derecho a la póliza #22P = Póliza #19C = CasadoM = Sexo masculinoE = Menor de 25 años
De acuerdo con las cinco condiciones, se tiene:
1. P v C v M2. P v C v E3. P' v C v M'4. M v E5. C v E'
Finalmente:
D = (P v C v M) w (P v C v E) w (P' v C v M') w (M v E) w (C v E')
7. EJERCICIOS
1. Escriba cada uno de los siguientes postulados de manera simbólica, usando a p y q definidos como:
p = es ricoq = es feliz
a) Si es rico entonces no es felizb) No se es feliz cuando se es ricoc) Es pobre solamente si es felizd) Ser rico significa lo mismo que ser felize) Él es pobre o es rico y feliz
2. Escribir la negación de cada uno de los siguientes enunciados en una frase tan sencilla como sea posible:
a) María habla español o francés si y sólo si habla italianob) Si Juan lee el Heraldo entonces no lee la Prensa ni el Excélsiorc) Si Marcos es rico entonces tanto Enrique como Aurora son felicesd) Si cae nieve entonces no conduce el automóvil
3. Construya la tabla de verdad de cada proposición:
a) (p º q') 6 (p' v q)b) [q º (r 6 p')] w [(q' 6 p) º r]c) (p v q) 6 r = (p 6 r) w (q 6 r)
4. Comprobar la validez de cada uno de los siguientes argumentos:
a) Si Lourdes no está en Dinamarca entonces París no está en Francia Pero París está en Francia Por lo tanto, Lourdes está en Dinamarca
b) El gobernador de California proviene ya sea de Los Angeles o de San Francisco El Sr. Jones no viene de San Francisco De donde, si el Sr. Jones no es de Los Angeles entonces el Sr. Jones no es gobernador de California
c) Si Harvard gana el campeonato de la liga de fútbol entonces Princenton será segundo Si Princenton es segundo entonces Darmounth no terminará entre los cuatro primeros equipos De donde, Princenton no tendrá el segundo lugar
5. Determine la expresión lógica que describa el siguiente problema:
En muchos automóviles, la alarma del cinturón de seguridad se usa también para indicar que se están dejando las llaves en el contacto o dejando las luces encendidas, cuando está desocupado. La siguiente proposición describe la forma en que puede funcionar dicho sistema:
La alarma suena si la llave está en el contacto, cuando la puerta está abierta y el motor no está funcionando; o si las luces están encendidas cuando la llave no está en el contacto, o si el cinturón de seguridad del conductor no está ajustado cuando el motor está funcionando; o si el asiento del pasajero está ocupado y su cinturón de seguridad no está ajustado.
6. Un fabricante de indicadores luminosos y de controles para detectar equipos en mal funcionamiento, necesita diseñar un sistema indicador para cápsulas espaciales.
El programa espacial ha tenido problemas con el funcionamiento de la escotilla. Hay tres tipos de control para las escotillas: El sistema principal, el de emergencia y el manual. Los dos primeros son automáticos y el tercero es manual.
Determine una expresión lógica que represente el sistema óptimo de control de luces que indique las fallas de ambos sistemas automáticos si el astronauta está fuera de la cápsula, falla de los tres sistemas cuando el astronauta está dentro de la cápsula o falla de dos de los tres sistemas cuando el astronauta está afuera.
7. Una empresa está interesada en contratar cuatro tipos de profesionistas:
1. Mujeres, no ingenieras, con un promedio de calificaciones mayor o igual a 3.0 (4.0 equivale a una calificación de A).2. Hombres, ingenieros, con un promedio de calificaciones mayor o igual a 2.5.3. Hombres, no ingenieros, con un promedio de calificaciones mayor o igual a 3.0.4. Mujeres, ingenieras, con un promedio de calificaciones mayor o igual a 3.0.
Considerando que M representa que el profesionista es hombre, E que es ingeniero, y que el promedio de calificaciones es mayor o igual a 3.0 y Z que el promedio de calificaciones es mayor o igual a 2.5, determine una expresión de conmutación que describa las calificaciones necesarias que un candidato deba reunir para poder contratarse.
lunes, 20 de octubre de 2008
logica matematica
Lógica matemática
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Para otros usos de este término, véase Lógica (desambiguación).
La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
Contenido[ocultar]
1 Historia
2 Áreas
3 Lógica de predicados
3.1 Lenguajes y estructuras de primer orden
4 Véase también
5 Bibliografía adicional
//
Historia [editar]
Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).
Áreas [editar]
La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:
Filosófica y crítica
Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)
Teoría de modelos
Teoría de la computabilidad
Teoría de conjuntos
Teoría de la demostración y matemática constructiva
Lógica algebraica
Modelos no-estándar
En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Curry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.
Lógica de predicados [editar]
La lógica de predicados es un lenguaje formal donde las sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a continuación.
Lenguajes y estructuras de primer orden [editar]
Un lenguaje de primer orden' es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue:
El símbolo de igualdad' ; las conectivas , ; el cuantificador universal y el paréntesis , .
Un conjunto contable de símbolos de variable .
Un conjunto de símbolos de constante .
Un conjunto de símbolos de función .
Un conjunto de símbolos de relación .
Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.
Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.
Una -estructura sobre el lenguaje , es una tupla consistente en un conjunto no vacío , el universo del discurso, junto a:
Para cada símbolo constante de , tenemos un elemento .
Para cada símbolo de function -aria de , una function -aria .
Para cada símbolo de relación -aria de , una relación -aria sobre , esto es, un subconjunto .
A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura
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Para otros usos de este término, véase Lógica (desambiguación).
La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
Contenido[ocultar]
1 Historia
2 Áreas
3 Lógica de predicados
3.1 Lenguajes y estructuras de primer orden
4 Véase también
5 Bibliografía adicional
//
Historia [editar]
Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).
Áreas [editar]
La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:
Filosófica y crítica
Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)
Teoría de modelos
Teoría de la computabilidad
Teoría de conjuntos
Teoría de la demostración y matemática constructiva
Lógica algebraica
Modelos no-estándar
En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Curry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.
Lógica de predicados [editar]
La lógica de predicados es un lenguaje formal donde las sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a continuación.
Lenguajes y estructuras de primer orden [editar]
Un lenguaje de primer orden' es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue:
El símbolo de igualdad' ; las conectivas , ; el cuantificador universal y el paréntesis , .
Un conjunto contable de símbolos de variable .
Un conjunto de símbolos de constante .
Un conjunto de símbolos de función .
Un conjunto de símbolos de relación .
Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.
Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.
Una -estructura sobre el lenguaje , es una tupla consistente en un conjunto no vacío , el universo del discurso, junto a:
Para cada símbolo constante de , tenemos un elemento .
Para cada símbolo de function -aria de , una function -aria .
Para cada símbolo de relación -aria de , una relación -aria sobre , esto es, un subconjunto .
A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura
propositos de octavo grado
En esta edad tecnológica, las matemáticas son más importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus clases, es cada vez más probable que usen las matemáticas en su trabajo y en la vida diaria: para operar equipos de computación, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar las finanzas personales y ejecutar otras tareas para resolver problemas. Todo lo que aprendan en matemáticas y la manera en que adquieran ese conocimiento les proporcionará una preparación excelente para un futuro exigente y en constante cambio.
El Estado de Indiana ha establecido los siguientes estándares para las matemáticas con el fin de aclararles a los maestros, a los estudiantes y a los padres cuáles son los conocimientos, entendimientos y destrezas que los estudiantes deben adquirir en el Grado 8:
Estándar 1 — Sentido Numérico
La comprensión del sistema numérico es la base de las matemáticas. Los estudiantes continúan ampliando su comprensión de los números irracionales, tales como π y la raíz cuadrada del 2, aprendiendo la relación entre la naturaleza del decimal de un número y si el mismo es racional o irracional. Ellos usan exponentes negativos para escribir decimales en notación científica, y usan la relación inversa entre el cuadrado y buscar la raíz cuadrada para calcular raíces cuadradas aproximadas.
Estándar 2 — Cálculo Aritmético
La fluidez en el cálculo aritmético es fundamental. Los estudiantes suman, restan, multiplican y dividen números racionales. Usan porcentajes para calcular el interés simple y compuesto. Ellos utilizan el cálculo mental para calcular fracciones, decimales, potencias y porcentajes.
Estándar 3 — El Algebra y sus Funciones
El álgebra es un lenguaje de patrones, reglas y símbolos. Los estudiantes en este nivel escriben y resuelven ecuaciones y desigualdades lineales, inclusive el resolver parejas de ecuaciones lineales usando el método de sustitución. Ellos usan las propiedades de los números racionales para evaluar y simplificar expresiones algebraicas. Siguen apliando su conocimiento de la relación entre las ecuaciones y los gráficos al conectar las pendientes a las tazas de cambio y al dibujar gráficos de funciones cuadráticas y funciones cúbicas simples.
Estándar 4 — Geometría
Los estudiantes aprenden sobre las figuras geométricas y desarrollan un sentido del espacio. Aprenden nuevos conceptos relacionados con las figuras, como altitudes, bisectrices y cuerdas y hacen construcciones conectadas a ellos. Siguen desarrollando su sentido del espacio tridimensional al investigar cómo los objetos se intersectan en el espacio. Dibujan una amplia diversidad de transformaciones en las figuras y aplican el Teorema de Pitágoras y su inversa a problemas en dos y tres dimensiones.
Estándar 5 — Las Medidas
El estudio de las medidas es fundamental debido a su uso en muchos de los aspectos de la vida diaria. Los estudiantes convierten medidas comunes para longitudes, áreas, volúmenes, pesos, capacidades y tiempos. Desarrollan el concepto de razón y medidas derivadas---por ejemplo, la velocidad y la densidad. Aplican los conceptos de similaridad, razón y proporción a problemas que incluyan factores en escala, áreas y volúmenes. Determinan las áreas, perímetros, volúmenes y áreas de la superficie, inclusive aquéllas de figuras irregulares compuestas de formas más básicas.
Estándar 6 — Estadísticas, Análisis de Datos y Probabilidad
Las estadísticas nos rodean—en periódicos y revistas, en las noticias y anuncios de televisión, en el control de calidad para la manufactura—y los estudiantes tienen que aprender cómo entender estas representaciones. En este nivel, ellos evalúan si las afirmaciones basadas en la información son razonables y si emplean diversos métodos de muestreo, analizando su fortaleza y debilidad. Comprenden los conceptos de la mediana y cuartiles y usan estas medidas para dibujar y analizar diagramas de caja y bigotes. Representan y analizan información de dos variables usando diagramas de dispersión. Comprenden el concepto de sucesos igualmente posibles y lo usan para buscar las probabilidades. También ellos buscan el número de arreglos de objetos usando el Principio Básico de Contar.
Estándar 7 — Solución de Problemas
En términos generales, las matemáticas es resolución de problemas. En todas las matemáticas los estudiantes usan las destrezas para resolver problemas: escogen cómo enfrentarse con un problema, explican su razonamiento y verifican sus resultados. Al ir desarrollando sus destrezas con los números irracionales, para analizar gráficos o para buscar el área de las superficies, por ejemplo, los estudiantes pasan de ideas simples a unas más complejas dando los pasos lógicos que conducen a una mejor comprensión de las matemáticas.
Como parte de su instrucción y evaluación diagnóstica para completar el Grado 12, los estudiantes deberán además desarrollar las siguientes destrezas de aprendizaje, que se van entretejiendo con los estándares de las matemáticas:
Comunicación
La habilidad de leer, escribir, escuchar, preguntar, pensar y comunicar sobre las matemáticas desarrollará y aumentará la comprensión de los estudiantes sobre los conceptos matemáticos. Los estudiantes deberán leer el texto, datos, tablas y gráficas con comprensión y entendimiento. Su escritura deberá ser detallada y coherente, y deberán usar el vocabulario matemático correcto. Los estudiantes deberán escribir para explicar las respuestas, justificar el razonamiento matemático y describir los métodos para resolver problemas.
Razonamiento y Prueba
Las matemáticas se desarrollan mediante el uso de ideas y conceptos conocidos para desarrollar otros. La suma repetida se convierte en multiplicación. La multiplicación de números menores de diez se puede extender a números menores de cien y luego al sistema numérico completo. El conocimiento para encontrar el área de un triángulo recto se extiende a todos los triángulos rectos. Extender patrones, encontrar números enteros, desarrollar fórmulas y probar el Teorema de Pitágoras son ejemplos de razonamiento matemático. Los estudiantes deberán aprender a observar, hacer generalizaciones, hacer presunciones sobre información conocida y probar las mismas.
Representación
El lenguaje matemático se expresa en palabras, símbolos, fórmulas, ecuaciones, gráficas y representaciones de datos. El concepto de un cuarto puede describirse como un cuarto, , uno dividido entre cuatro, 0.25, + , 25 porciento o una porción sombreada adecuadamente en una gráfica en forma de pastel. Las matemáticas de nivel más alto implican el uso de representaciones más potentes: exponentes, logaritmos, π, desconocidos, representaciones estadísticas, expresiones algebraicas y geométricas. Las operaciones matemáticas se expresan como representaciones: +, =, dividir, cuadrado. Las representaciones son instrumentos dinámicos para resolver problemas y comunicar y expresar las ideas y conceptos matemáticos.
Conexiones
La conexión de conceptos matemáticos incluye enlazar ideas nuevas a ideas relacionadas aprendidas anteriormente, que ayudan a los estudiantes a ver las matemáticas como un conjunto de conceptos unificados que se desarrollan unos sobre otros. Se debe dar mayor énfasis a las ideas y conceptos entre las áreas de contenido matemático que ayudan a los estudiantes a ver las matemáticas como una red de ideas estrechamente conectadas (álgebra, geometría, el sistema numérico ). Las matemáticas son también la lengua común de muchas otras disciplinas (ciencia, tecnología, finanzas, ciencias sociales, geografía) y los estudiantes deberán aprender los conceptos matemáticos usados en esas disciplinas. Finalmente, los estudiantes deberán establecer una conexión entre su aprendizaje matemático y los contextos de la vida real apropiados.
Estándar 1Sentido Numérico
Los estudiantes conocen las propiedades de los números racionales* e irracionales* expresadas en varias formas. Comprenden y usan exponentes*, potencias y raíces.
8.1.1 Leer, escribir, comparar y resolver problemas usando decimales en notación científica*.Ejemplo: Escribe 0.00357 en notación científica.
8.1.2 Saber que cada número racional es un decimal terminal o repetitivo y que cada número irracional es un decimal no repetitivo.Ejemplo: Reconoce que 2.375 es un decimal terminal, que 5.121212... es un decimal repetitivo y que π = 3.14159265... es un decimal no repetitivo. Da un número racional. Explica tu razonamiento.
8.1.3 Comprender que los cálculos con un número irracional y con un número racional (que no sea cero) producen un número irracional.Ejemplo: Di si el producto de 7 y π es racional o irracional. Explica cómo sabes que tu respuesta es correcta.
8.1.4 Comprender y evaluar los exponentes de números enteros negativos*.Ejemplo: Escribe 2-3 como una fracción.
8.1.5 Usar las leyes de exponentes para los exponentes de números enteros.Ejemplo: Escribe 22 ´ 23 como 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 y luego como una potencia simple del 2. Explica lo que haces.
8.1.6 Usar la relación inversa entre elevar al cuadrado y buscar la raíz cuadrada de un número entero perfecto al cuadrado.Ejemplo: Busca el valor de ( )2 .
8.1.7 Calcular y buscar las aproximaciones de raíces cuadradas.Ejemplo: Para un número entero que no sea un entero perfecto al cuadrado, busca los dos números enteros (uno más grande, uno más pequeño) que estén más cerca de su raíz cuadrada y explica tu razonamiento.
* números racionales: números verdaderos que se puede escribir como cociente de dos números enteros (por ej.: , , )
* números enteros: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
* números irracionales: números verdaderos que no se puede escribir como cociente de dos números enteros (por ej.: π, , 7π)
* exponente: por ej.: el exponente 4 en 34 le dice a usted que escriba el 3 cuatro veces y que los multiplique 3 ´ 3 ´ 3 ´ 3
* notación científica: manera corta de escribir números al elevarlos a la décima potencia (por ej.: 300,000 = 3 ´ 105)
Estándar 2Cálculo Aritmético
Los estudiantes hacen cálculos con números racionales* expresados en formas variadas. Resuelven problemas con razones, proporciones y porcentajes.
8.2.1 Sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales (números enteros*, fracciones, decimales terminales) en problemas de pasos múltiples. Ejemplo: -3.4 + 2.8 ´ 5.75 = ?, 1 + - ´ 2 = ?, 81.04 ¸ 17.4 – 2.79 = ?.
8.2.2 Resolver problemas calculando el interés simple y compuesto.Ejemplo: Pones $100 en cada una de tres cuentas bancarias que pagan 5% al año. Una cuenta paga interés sencillo, una paga interés compuesto anualmente, y la tercera paga interés compuesto trimestralmente. Usa una hoja electrónica para buscar la cantidad de dinero en cada cuenta después de un año, dos años, tres años, diez años y veinte años. Compara los resultados en las tres cuentas y explica cómo el cálculo compuesto afecta el saldo en cada cuenta.
8.2.3 Usar técnicas de estimación para decidir si las respuestas de una calculadora son razonables.Ejemplo: Tu amigo utiliza una calculadora para encontrar el 15% de $25 y consigue $375. Sin resolverlo, explica por qué crees que la respuesta es incorrecta.
8.2.4 Utilizar el cálculo mental para hacer cálculos con fracciones, decimales, potencias y porcentajes comunes. Ejemplo: Busca el 20% de $50 sin usar lápiz ni papel.
* números racionales: números verdaderos que se puede escribir como cociente de dos números enteros (por ej.: , , )
* números enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, ,2, 3, ...
Estándar 3Algebra y sus Funciones
Los estudiantes resuelven ecuaciones y desigualdades lineales simples. Interpretan y evalúan expresiones con potencias de números enteros*. Hacen gráficos e interpretan las funciones. Comprenden los conceptos de inclinación* y razón.
8.3.1 Escribir y resolver ecuaciones lineales y desigualdades en una variable, interpretar la solución o soluciones en su contexto y verificar lo razonable de los resultados. Ejemplo: En calidad de vendedor/a, te pagan $50 por semana más $3 por cada venta. Esta semana deseas ganar $100 por lo menos. Escribe una desigualdad para el número de ventas que necesitas hacer, resuélvelo y verifica si tu respuesta es razonable.
8.3.2 Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales usando el método de sustitución e identificar soluciones aproximadas gráficamente. Ejemplo: Resuelve el sistema.
2x + 3y = 7
x + 2y = 5
8.3.3 Interpretar potencias de enteros positivos como una multiplicación repetida y potencias de enteros negativos como una división repetida o multiplicación por el inverso multiplicativo.Ejemplo: Usa una hoja de cálculo electrónica para buscar la relación entre potencias con enteros negativos y positivos haciendo una tabla de valores para potencias de 3, desde 3-5 hasta 35.
8.3.4 Usar el orden de operaciones correcto para buscar los valores de expresiones algebraicas que usen potencias. Ejemplo: Usa una calculadora de términos científicos para buscar el valor de 3 (2x + 5)2 cuando x = -35.
8.3.5 Identificar y hacer gráficos de funciones lineales e identificar líneas con una pendiente positiva y negativa.Ejemplo: Dibuja los gráficos de y = 2x -1, y = 3x -1, y = -2x -1, y y = -3x -1. Busca la pendiente de cada gráfico. ¿Qué observas?
8.3.6 Buscar la pendiente de una función lineal, dada la ecuación, y escribir la ecuación de una línea, dada la pendiente y algún otro punto sobre la línea.Ejemplo: Escribe una ecuación de la línea con una pendiente de 2, e intersección con el eje y en -4.
8.3.7 Demostrar un entendimiento de la razón como la medida de una cantidad con respecto a otra cantidad.Ejemplo: Un automóvil que viaja a una velocidad constante viaja 90 km durante 2 horas, 135 km durante 3 horas, 180 km durante 4 horas, etc. Dibuja un gráfico de distancia en función del tiempo y busca la pendiente del gráfico. Explica lo que la pendiente te dice sobre el movimiento del automóvil.
8.3.8 Demostrar un entendimiento de las relaciones entre tablas, ecuaciones, expresiones verbales y gráficos de funciones lineales. Ejemplo: Escribe una ecuación que represente la descripción verbal: “El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el largo de uno de sus lados.” Elabora una tabla de valores para esta relación y dibuja su gráfico.
8.3.9 Representar funciones cuadráticas simples usando descripciones verbales, tablas de valores, gráficos y fórmulas y convertir entre estas representaciones.Ejemplo: Traza el gráfico de y = x2 , y = 2x2 y y = 3x2. Explica sus similaridades y diferencias.
8.3.10 Hacer un gráfico de las funciones de la forma y = nx2, y y = nx3 y describir las semejanzas y diferencias entre los gráficos. Ejemplo: Traza los gráficos para y = 2x2 y y = 2x3. Explica cuál de los gráficos muestra un crecimiento más rápido.
* números enteros: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....
* pendiente: entre dos puntos sobre una línea, la pendiente es el cambio en distancia vertical dividido por el cambio en distancia horizontal (“altura” sobre “carrera”).
Estándar 4Geometría
Los estudiantes profundizan su conocimiento de las figuras geométricas planas y sólidas y sus propiedades construyendo figuras que reunan las condiciones dadas, identificando las características de las figuras y aplicando conceptos geométricos al resolver problemas.
8.4.1 Identificar y describir las propiedades básicas de las figuras geométricas: altitudes*, diagonales, bisectrices angulares y perpendiculares*, ángulos centrales*, radios, diámetros y cuerdas*. Ejemplo: Describe en palabras un ángulo central de un círculo y traza un diagrama.
8.4.2 Hacer construcciones simples, tales como bisectrices de segmentos y ángulos, copias de segmentos y ángulos y segmentos perpendiculares. Describir y justificar las construcciones.Ejemplo: Explica los procedimientos usados para construir las tres bisectrices angulares de un triángulo.
8.4.3 Identificar las propiedades de objetos geométricos tridimensionales (por ejemplo, diagonales de sólidos rectangulares) y describir cómo dos o más figuras se intersecan en un plano o espacio. Ejemplo: Busca dos líneas en tu salón de clase que no sean paralelas pero que no se junten.
8.4.4 Dibujar la traslación (deslizamiento), rotación (giro), reflexión (revés) y dilatación (el estirar y encoger) de las figuras. Ejemplo: Dibuja un rectángulo y deslízalo tres pulgadas horizontales a lo ancho de la página. Luego, hazlo girar por 9º alrededor de su vértice inferior izquierdo. Dibuja el nuevo rectángulo en otro color.
A
D
C
B8.4.5 Usar el Teorema de Pitágoras y su inversa para resolver problemas en dos o tres dimensiones.Ejemplo: Mide las dimensiones de una caja para zapatos y calcula el largo de una diagonal desde la parte superior derecha hasta la parte inferior izquierda de la caja. Mide con una cuerda para verificar tu solución.
* altitud: línea desde el vértice de un triángulo hasta juntarse al lado opuestoen un ángulo recto (altitud es en triangle ABC)
D
B
A
C
* bisectriz perpendicular: línea (o radio o segmento) en ángulo recto que divide a otra línea dada por la mitad( es la bisectriz perpendicular de )
A
B
O
C
D
* ángulo central: ángulo formado por la unión de dos puntos
sobre un círculo en el centro del mismo (ÐAOB es un ángulo central)
* cuerda: línea que une dos puntos en un círculo ( es una cuerda)
Estándar 5Las Medidas
Los estudiantes hacen conversiones entre unidades de medida y usan razones y factores de escala para resolver problemas. Calculan el perímetro, área y volumen de objetos geométricos. Investigan cómo el perímetro, área y volumen son afectados por cambios de escala.
8.5.1 Convertir medidas comunes de longitud, área, volumen, peso, capacidad y tiempo a medidas equivalentes dentro del mismo sistema. Ejemplo: El área de un salón es de 40 yardas cuadradas. ¿Cuál es el área en pies cuadrados?
8.5.2 Resolver problemas simples que utilizan razones y mediciones derivadas, como las características de la velocidad y la densidad.Ejemplo: Un automóvil viaja a 60 mph durante 20 minutos. ¿Qué distancia viaja el automóvil? ¿Cuáles son las unidades apropiadas para medir la distancia? Explica tu respuesta.
8.5.3 Resolver problemas que utilizan factores de escala, área y volumen, usando la razón y proporción. Ejemplo: Calcula el volumen y área de la superficie de cubos con un lado de 1 cm, 2cm, 3cm, etc. Haz una tabla con tus resultados y describe cualquier patrón en la tabla.
8.5.4 Usar fórmulas para buscar el perímetro y el área de figuras bidimensionales básicas y el área de la superficie y volumen de figuras tridimensionales básicas, como rectángulos, paralelogramos*, trapecios*, triángulos, círculos, prismas*, cilindros y pirámides.Ejemplo: Busca el área total de la superficie de un prisma triangular recto de 14 pies de alto y con una base que mide 8 pies por 6 pies.
8.5.5 Estimar y calcular el área de las figuras de dos dimensiones irregulares y del volumen de figuras tridimensionales dividiendo las figuras en objetos geométricos más básicos.Ejemplo: Busca el volumen de una casa para perro que tiene un espacio rectangular de 3 pies por 2 pies por 5 pies y tiene un techo triangular que mide 1.5 pies más alto que las paredes de la casa.
* paralelogramo: una figura de cuatro lados con dos pares de lados opuestos paralelos.
* trapecio: una figura de cuatro lados con solo un par de lados opuestos paralelos.
* prisma: una figura sólida con sección transversal compuesta (un prisma recto es una figura sólida con dos caras paralelas que son polígonos y otras caras que son rectángulos)
Estándar 6Análisis de Datos y Probabilidad
Los estudiantes recogen, organizan e interpretan las relaciones en conjuntos de datos que tienen una o más variables. Determinan probabilidades y las usan para hacer predicciones sobre sucesos.
8.6.1 Identificar afirmaciones basadas en datos estadísticos y en casos simples, evaluar la sensatez de las afirmaciones. Diseñar un estudio para investigar la afirmación. Ejemplo: Un estudio muestra que los adolescentes que usan cierta marca de pasta de dientes tienen menos caries que aquéllos que usan otras marcas. Describe cómo se puede comprobar esta afirmación en tu escuela.
8.6.2 Identificar métodos diferentes para la selección de las muestras, analizando los atributos y defectos de cada método y el posible prejuicio en una muestra o representación. Ejemplo: Describe el posible prejuicio en la siguiente encuesta. Una estación de televisión local tiene diariamente un programa de encuestas por teléfono. Se les piden a los espectadores de los noticieros de la mañana y mediodía que llamen un número telefónico para contestar “sí” y otro número diferente para contestar “no”. Los resultados se dan en el noticiero de las seis.
8.6.3 En un conjunto de datos, comprender el significado, poder identificar o calcular el mínimo, el cuartil inferior*, la mediana*, el cuartil superior*, la distancia entre cuartiles y el máximo.Ejemplo: Arregla un conjunto de resultados de un examen en orden creciente y busca el resultado más bajo y el más alto, la mediana, y el cuartil superior e inferior.
8.6.4 Analizar, interpretar y representar datos de una o dos variables en gráficos de barras, lineales y circulares apropiadas; diagramas de tallo y hojas*; y diagramas de caja y bigotes* y explicar cuáles tipos de representación son apropiados para varios conjuntos de datos. Ejemplo: El diagrama de caja y bigotes siguiente muestra tiempos ganadores (horas:minutos) para la carrera “Indianapolis 500” en años seleccionados.
“
En los años de 1951-1965 el tiempo más bajo fue 3 horas 53 min. Explica cómo el tiempo más bajo cambió a través de los años 1951-1995. ¿Cómo cambiaron los tiempos ganadores durante ese período? ¿Cómo cambiaron los tiempos de la mediana (término medio) en el mismo período?
8.6.5 Representar datos de dos variables con un diagrama de dispersión* sobre un plano coordenado y describir cómo se distribuyen los puntos de datos. Si el patrón parece ser lineal, dibuja una línea donde mejor encajen los datos y escribe la ecuación de esa línea.Ejemplo: Haz una encuesta con algunos de los estudiantes de cada grado en tu escuela. Pregúntales cuánto tiempo pasan en su tarea. Traza el grado y tiempo de cada estudiante como un punto (grado, tiempo) sobre un diagrama de dispersión. Describe y justifica cualquier relación entre grado y tiempo dedicado a la tarea.
8.6.6 Comprender y reconocer sucesos igualmente probables. Ejemplo: Cuando haces rodar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número sobre la cara superior sea un 6? Explica tu respuesta.
8.6.7 Buscar el número de posibles arreglos de varios objetos usando el Principio Básico de Contar. Ejemplo: Piensas poner cuatro fotos en una línea sobre un estante. Busca el número de arreglos en que puedes poner las cuatro fotos.
* cuartil inferior: el valor que separa el cuarto más bajo de valores del resto de los valores.
* mediana: el valor que divide un conjunto de datos escritos en orden de tamaño en dos partes iguales
* cuartil superior: el valor que separa el cuarto más alto de valores del resto de los valores
* diagrama de tallo y hoja: por ejemplo, este diagrama muestra 62, 63, 67, 71, 75, 75, 76, etc.
Tallo Hoja
6 2 3 7
7 1 5 5 6 8 9
8 0 1 1 2 3 3 5 7 8 8
9 1 2 2 3 3 4
* diagrama de caja y bigote: diagrama que muestra la mediana (término medio), cuartiles y distancia (ver el diagrama en la página anterior)
* diagrama de dispersión: un gráfico coordenado que muestra pares de datos ordenados
Estándar 7Solución de Problemas
Los estudiantes toman decisiones sobre cómo enfrentarse con los problemas y comunicar sus ideas.
8.7.1 Analizar los problemas identificando las relaciones, distinguiendo la información relevante de la irrelevante, identificando la información que falta, poniendo la información en orden de secuencia y de prioridad y observando los patrones.Ejemplo: Resuelve este problema: Para las computadoras, los números binarios son perfectos porque son sencillos y usan sólo dos valores de voltaje, magnetismo u otra señal. Esto hace más fácil el diseño del equipo de cómputo (hardware) y más resistente a la interferencia. Los números binarios permiten representar cualquier cantidad deseada con sólo dos dígitos: 0 y 1. El número que se obtiene cuando se cuenta 10 objetos se escribe 1010. En una notación desarrollada esto es 1 ´ 23 + 0 ´ 22 + 1 ´ 21 + 0 ´ 20 . Escribe el número para trece en el sistema binario (base 2). Haz una lista organizada.
8.7.2 Hacer y justificar conjeturas matemáticas basadas en la descripción general de una pregunta o problema matemático.Ejemplo: En el primer ejemplo, si tienes únicamente dos símbolos, 0 y 1, luego un objeto: 1, dos objetos: 10, tres objetos: 11, cuatro objetos: 100. Predice el símbolo para cinco objetos.
8.7.3 Decidir cuándo y cómo dividir el problema en partes más simples. Ejemplo: En el primer ejemplo, escribe la notación desarrollada para el número cinco en base 2: comienza con el hecho de que 5 = 4 + 1.
Los estudiantes usan métodos, destrezas, y conceptos para buscar y comunicar las soluciones a los problemas.
8.7.4 Aplicar los métodos y resultados obtenidos en problemas más simples para resolver problemas más complejos. Ejemplo: En el primer ejemplo, escribe los primeros cinco números en notación de base 2 y busca un patrón.
8.7.5 Hacer y comprobar conjeturas usando el razonamiento inductivo.Ejemplo: En el primer ejemplo, predice la notación de base 2 para seis objetos, después usa la notación desarrollada para comprobar tu predicción.
8.7.6 Expresar la solución clara y lógicamente usando los términos y notación matemáticos apropiados. Apoyar las soluciones con evidencia en forma verbal y simbólica. Ejemplo: En el primer ejemplo, explica cómo encontrarás la notación de base 2 para trece objetos.
8.7.7 Reconocer las ventajas relativas de las soluciones exactas y aproximadas a los problemas y dar respuestas hasta un grado específico de exactitud. Ejemplo: Mide el largo y ancho de una cancha de baloncesto. Usa el Teorema de Pitágoras para calcular el largo de una diagonal. ¿Qué exactitud debe tener tu respuesta?
8.7.8 Seleccionar y aplicar los métodos apropiados para estimar los resultados de los cálculos de números racionales.Ejemplo: Usa una calculadora para buscar el cubo de 15. Verifica tu respuesta buscando los cubos de 10 y 20.
8.7.9 Usar gráficos para estimar soluciones y verificar las aproximaciones con métodos analíticos.Ejemplo: Usa una calculadora gráfica para trazar la línea recta x + y = 10. Usa ésta para estimar las soluciones de la desigualdad x + y > 10, al probar los puntos a cada lado de la línea.
8.7.10 Hacer cálculos precisos y verificar la validez de los resultados en el contexto del problema.Ejemplo: En el primer ejemplo, anota los primeros trece números en notación de base 2. Usa patrones o notación desarrollada para confirmar tu lista.
Los estudiantes determinan cuando una solución está completa y es razonable y avanza más allá de un problema en particular haciendo una generalización para otras situaciones.
8.7.10 Decidir si una solución es razonable en el contexto de la situación original.Ejemplo: En el ejemplo de la cancha de baloncesto, ¿depende la exactitud de tu respuesta de tu medida inicial?
8.7.11 Observar el método para encontrar la solución y demostrar un conocimiento conceptual del método al resolver problemas similares.Ejemplo: En el primer ejemplo, usa tu lista de números de base 2 y agrega números en base 2. Explica cómo funciona exactamente tu proceso de adición.
El Estado de Indiana ha establecido los siguientes estándares para las matemáticas con el fin de aclararles a los maestros, a los estudiantes y a los padres cuáles son los conocimientos, entendimientos y destrezas que los estudiantes deben adquirir en el Grado 8:
Estándar 1 — Sentido Numérico
La comprensión del sistema numérico es la base de las matemáticas. Los estudiantes continúan ampliando su comprensión de los números irracionales, tales como π y la raíz cuadrada del 2, aprendiendo la relación entre la naturaleza del decimal de un número y si el mismo es racional o irracional. Ellos usan exponentes negativos para escribir decimales en notación científica, y usan la relación inversa entre el cuadrado y buscar la raíz cuadrada para calcular raíces cuadradas aproximadas.
Estándar 2 — Cálculo Aritmético
La fluidez en el cálculo aritmético es fundamental. Los estudiantes suman, restan, multiplican y dividen números racionales. Usan porcentajes para calcular el interés simple y compuesto. Ellos utilizan el cálculo mental para calcular fracciones, decimales, potencias y porcentajes.
Estándar 3 — El Algebra y sus Funciones
El álgebra es un lenguaje de patrones, reglas y símbolos. Los estudiantes en este nivel escriben y resuelven ecuaciones y desigualdades lineales, inclusive el resolver parejas de ecuaciones lineales usando el método de sustitución. Ellos usan las propiedades de los números racionales para evaluar y simplificar expresiones algebraicas. Siguen apliando su conocimiento de la relación entre las ecuaciones y los gráficos al conectar las pendientes a las tazas de cambio y al dibujar gráficos de funciones cuadráticas y funciones cúbicas simples.
Estándar 4 — Geometría
Los estudiantes aprenden sobre las figuras geométricas y desarrollan un sentido del espacio. Aprenden nuevos conceptos relacionados con las figuras, como altitudes, bisectrices y cuerdas y hacen construcciones conectadas a ellos. Siguen desarrollando su sentido del espacio tridimensional al investigar cómo los objetos se intersectan en el espacio. Dibujan una amplia diversidad de transformaciones en las figuras y aplican el Teorema de Pitágoras y su inversa a problemas en dos y tres dimensiones.
Estándar 5 — Las Medidas
El estudio de las medidas es fundamental debido a su uso en muchos de los aspectos de la vida diaria. Los estudiantes convierten medidas comunes para longitudes, áreas, volúmenes, pesos, capacidades y tiempos. Desarrollan el concepto de razón y medidas derivadas---por ejemplo, la velocidad y la densidad. Aplican los conceptos de similaridad, razón y proporción a problemas que incluyan factores en escala, áreas y volúmenes. Determinan las áreas, perímetros, volúmenes y áreas de la superficie, inclusive aquéllas de figuras irregulares compuestas de formas más básicas.
Estándar 6 — Estadísticas, Análisis de Datos y Probabilidad
Las estadísticas nos rodean—en periódicos y revistas, en las noticias y anuncios de televisión, en el control de calidad para la manufactura—y los estudiantes tienen que aprender cómo entender estas representaciones. En este nivel, ellos evalúan si las afirmaciones basadas en la información son razonables y si emplean diversos métodos de muestreo, analizando su fortaleza y debilidad. Comprenden los conceptos de la mediana y cuartiles y usan estas medidas para dibujar y analizar diagramas de caja y bigotes. Representan y analizan información de dos variables usando diagramas de dispersión. Comprenden el concepto de sucesos igualmente posibles y lo usan para buscar las probabilidades. También ellos buscan el número de arreglos de objetos usando el Principio Básico de Contar.
Estándar 7 — Solución de Problemas
En términos generales, las matemáticas es resolución de problemas. En todas las matemáticas los estudiantes usan las destrezas para resolver problemas: escogen cómo enfrentarse con un problema, explican su razonamiento y verifican sus resultados. Al ir desarrollando sus destrezas con los números irracionales, para analizar gráficos o para buscar el área de las superficies, por ejemplo, los estudiantes pasan de ideas simples a unas más complejas dando los pasos lógicos que conducen a una mejor comprensión de las matemáticas.
Como parte de su instrucción y evaluación diagnóstica para completar el Grado 12, los estudiantes deberán además desarrollar las siguientes destrezas de aprendizaje, que se van entretejiendo con los estándares de las matemáticas:
Comunicación
La habilidad de leer, escribir, escuchar, preguntar, pensar y comunicar sobre las matemáticas desarrollará y aumentará la comprensión de los estudiantes sobre los conceptos matemáticos. Los estudiantes deberán leer el texto, datos, tablas y gráficas con comprensión y entendimiento. Su escritura deberá ser detallada y coherente, y deberán usar el vocabulario matemático correcto. Los estudiantes deberán escribir para explicar las respuestas, justificar el razonamiento matemático y describir los métodos para resolver problemas.
Razonamiento y Prueba
Las matemáticas se desarrollan mediante el uso de ideas y conceptos conocidos para desarrollar otros. La suma repetida se convierte en multiplicación. La multiplicación de números menores de diez se puede extender a números menores de cien y luego al sistema numérico completo. El conocimiento para encontrar el área de un triángulo recto se extiende a todos los triángulos rectos. Extender patrones, encontrar números enteros, desarrollar fórmulas y probar el Teorema de Pitágoras son ejemplos de razonamiento matemático. Los estudiantes deberán aprender a observar, hacer generalizaciones, hacer presunciones sobre información conocida y probar las mismas.
Representación
El lenguaje matemático se expresa en palabras, símbolos, fórmulas, ecuaciones, gráficas y representaciones de datos. El concepto de un cuarto puede describirse como un cuarto, , uno dividido entre cuatro, 0.25, + , 25 porciento o una porción sombreada adecuadamente en una gráfica en forma de pastel. Las matemáticas de nivel más alto implican el uso de representaciones más potentes: exponentes, logaritmos, π, desconocidos, representaciones estadísticas, expresiones algebraicas y geométricas. Las operaciones matemáticas se expresan como representaciones: +, =, dividir, cuadrado. Las representaciones son instrumentos dinámicos para resolver problemas y comunicar y expresar las ideas y conceptos matemáticos.
Conexiones
La conexión de conceptos matemáticos incluye enlazar ideas nuevas a ideas relacionadas aprendidas anteriormente, que ayudan a los estudiantes a ver las matemáticas como un conjunto de conceptos unificados que se desarrollan unos sobre otros. Se debe dar mayor énfasis a las ideas y conceptos entre las áreas de contenido matemático que ayudan a los estudiantes a ver las matemáticas como una red de ideas estrechamente conectadas (álgebra, geometría, el sistema numérico ). Las matemáticas son también la lengua común de muchas otras disciplinas (ciencia, tecnología, finanzas, ciencias sociales, geografía) y los estudiantes deberán aprender los conceptos matemáticos usados en esas disciplinas. Finalmente, los estudiantes deberán establecer una conexión entre su aprendizaje matemático y los contextos de la vida real apropiados.
Estándar 1Sentido Numérico
Los estudiantes conocen las propiedades de los números racionales* e irracionales* expresadas en varias formas. Comprenden y usan exponentes*, potencias y raíces.
8.1.1 Leer, escribir, comparar y resolver problemas usando decimales en notación científica*.Ejemplo: Escribe 0.00357 en notación científica.
8.1.2 Saber que cada número racional es un decimal terminal o repetitivo y que cada número irracional es un decimal no repetitivo.Ejemplo: Reconoce que 2.375 es un decimal terminal, que 5.121212... es un decimal repetitivo y que π = 3.14159265... es un decimal no repetitivo. Da un número racional. Explica tu razonamiento.
8.1.3 Comprender que los cálculos con un número irracional y con un número racional (que no sea cero) producen un número irracional.Ejemplo: Di si el producto de 7 y π es racional o irracional. Explica cómo sabes que tu respuesta es correcta.
8.1.4 Comprender y evaluar los exponentes de números enteros negativos*.Ejemplo: Escribe 2-3 como una fracción.
8.1.5 Usar las leyes de exponentes para los exponentes de números enteros.Ejemplo: Escribe 22 ´ 23 como 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 y luego como una potencia simple del 2. Explica lo que haces.
8.1.6 Usar la relación inversa entre elevar al cuadrado y buscar la raíz cuadrada de un número entero perfecto al cuadrado.Ejemplo: Busca el valor de ( )2 .
8.1.7 Calcular y buscar las aproximaciones de raíces cuadradas.Ejemplo: Para un número entero que no sea un entero perfecto al cuadrado, busca los dos números enteros (uno más grande, uno más pequeño) que estén más cerca de su raíz cuadrada y explica tu razonamiento.
* números racionales: números verdaderos que se puede escribir como cociente de dos números enteros (por ej.: , , )
* números enteros: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
* números irracionales: números verdaderos que no se puede escribir como cociente de dos números enteros (por ej.: π, , 7π)
* exponente: por ej.: el exponente 4 en 34 le dice a usted que escriba el 3 cuatro veces y que los multiplique 3 ´ 3 ´ 3 ´ 3
* notación científica: manera corta de escribir números al elevarlos a la décima potencia (por ej.: 300,000 = 3 ´ 105)
Estándar 2Cálculo Aritmético
Los estudiantes hacen cálculos con números racionales* expresados en formas variadas. Resuelven problemas con razones, proporciones y porcentajes.
8.2.1 Sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales (números enteros*, fracciones, decimales terminales) en problemas de pasos múltiples. Ejemplo: -3.4 + 2.8 ´ 5.75 = ?, 1 + - ´ 2 = ?, 81.04 ¸ 17.4 – 2.79 = ?.
8.2.2 Resolver problemas calculando el interés simple y compuesto.Ejemplo: Pones $100 en cada una de tres cuentas bancarias que pagan 5% al año. Una cuenta paga interés sencillo, una paga interés compuesto anualmente, y la tercera paga interés compuesto trimestralmente. Usa una hoja electrónica para buscar la cantidad de dinero en cada cuenta después de un año, dos años, tres años, diez años y veinte años. Compara los resultados en las tres cuentas y explica cómo el cálculo compuesto afecta el saldo en cada cuenta.
8.2.3 Usar técnicas de estimación para decidir si las respuestas de una calculadora son razonables.Ejemplo: Tu amigo utiliza una calculadora para encontrar el 15% de $25 y consigue $375. Sin resolverlo, explica por qué crees que la respuesta es incorrecta.
8.2.4 Utilizar el cálculo mental para hacer cálculos con fracciones, decimales, potencias y porcentajes comunes. Ejemplo: Busca el 20% de $50 sin usar lápiz ni papel.
* números racionales: números verdaderos que se puede escribir como cociente de dos números enteros (por ej.: , , )
* números enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, ,2, 3, ...
Estándar 3Algebra y sus Funciones
Los estudiantes resuelven ecuaciones y desigualdades lineales simples. Interpretan y evalúan expresiones con potencias de números enteros*. Hacen gráficos e interpretan las funciones. Comprenden los conceptos de inclinación* y razón.
8.3.1 Escribir y resolver ecuaciones lineales y desigualdades en una variable, interpretar la solución o soluciones en su contexto y verificar lo razonable de los resultados. Ejemplo: En calidad de vendedor/a, te pagan $50 por semana más $3 por cada venta. Esta semana deseas ganar $100 por lo menos. Escribe una desigualdad para el número de ventas que necesitas hacer, resuélvelo y verifica si tu respuesta es razonable.
8.3.2 Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales usando el método de sustitución e identificar soluciones aproximadas gráficamente. Ejemplo: Resuelve el sistema.
2x + 3y = 7
x + 2y = 5
8.3.3 Interpretar potencias de enteros positivos como una multiplicación repetida y potencias de enteros negativos como una división repetida o multiplicación por el inverso multiplicativo.Ejemplo: Usa una hoja de cálculo electrónica para buscar la relación entre potencias con enteros negativos y positivos haciendo una tabla de valores para potencias de 3, desde 3-5 hasta 35.
8.3.4 Usar el orden de operaciones correcto para buscar los valores de expresiones algebraicas que usen potencias. Ejemplo: Usa una calculadora de términos científicos para buscar el valor de 3 (2x + 5)2 cuando x = -35.
8.3.5 Identificar y hacer gráficos de funciones lineales e identificar líneas con una pendiente positiva y negativa.Ejemplo: Dibuja los gráficos de y = 2x -1, y = 3x -1, y = -2x -1, y y = -3x -1. Busca la pendiente de cada gráfico. ¿Qué observas?
8.3.6 Buscar la pendiente de una función lineal, dada la ecuación, y escribir la ecuación de una línea, dada la pendiente y algún otro punto sobre la línea.Ejemplo: Escribe una ecuación de la línea con una pendiente de 2, e intersección con el eje y en -4.
8.3.7 Demostrar un entendimiento de la razón como la medida de una cantidad con respecto a otra cantidad.Ejemplo: Un automóvil que viaja a una velocidad constante viaja 90 km durante 2 horas, 135 km durante 3 horas, 180 km durante 4 horas, etc. Dibuja un gráfico de distancia en función del tiempo y busca la pendiente del gráfico. Explica lo que la pendiente te dice sobre el movimiento del automóvil.
8.3.8 Demostrar un entendimiento de las relaciones entre tablas, ecuaciones, expresiones verbales y gráficos de funciones lineales. Ejemplo: Escribe una ecuación que represente la descripción verbal: “El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el largo de uno de sus lados.” Elabora una tabla de valores para esta relación y dibuja su gráfico.
8.3.9 Representar funciones cuadráticas simples usando descripciones verbales, tablas de valores, gráficos y fórmulas y convertir entre estas representaciones.Ejemplo: Traza el gráfico de y = x2 , y = 2x2 y y = 3x2. Explica sus similaridades y diferencias.
8.3.10 Hacer un gráfico de las funciones de la forma y = nx2, y y = nx3 y describir las semejanzas y diferencias entre los gráficos. Ejemplo: Traza los gráficos para y = 2x2 y y = 2x3. Explica cuál de los gráficos muestra un crecimiento más rápido.
* números enteros: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....
* pendiente: entre dos puntos sobre una línea, la pendiente es el cambio en distancia vertical dividido por el cambio en distancia horizontal (“altura” sobre “carrera”).
Estándar 4Geometría
Los estudiantes profundizan su conocimiento de las figuras geométricas planas y sólidas y sus propiedades construyendo figuras que reunan las condiciones dadas, identificando las características de las figuras y aplicando conceptos geométricos al resolver problemas.
8.4.1 Identificar y describir las propiedades básicas de las figuras geométricas: altitudes*, diagonales, bisectrices angulares y perpendiculares*, ángulos centrales*, radios, diámetros y cuerdas*. Ejemplo: Describe en palabras un ángulo central de un círculo y traza un diagrama.
8.4.2 Hacer construcciones simples, tales como bisectrices de segmentos y ángulos, copias de segmentos y ángulos y segmentos perpendiculares. Describir y justificar las construcciones.Ejemplo: Explica los procedimientos usados para construir las tres bisectrices angulares de un triángulo.
8.4.3 Identificar las propiedades de objetos geométricos tridimensionales (por ejemplo, diagonales de sólidos rectangulares) y describir cómo dos o más figuras se intersecan en un plano o espacio. Ejemplo: Busca dos líneas en tu salón de clase que no sean paralelas pero que no se junten.
8.4.4 Dibujar la traslación (deslizamiento), rotación (giro), reflexión (revés) y dilatación (el estirar y encoger) de las figuras. Ejemplo: Dibuja un rectángulo y deslízalo tres pulgadas horizontales a lo ancho de la página. Luego, hazlo girar por 9º alrededor de su vértice inferior izquierdo. Dibuja el nuevo rectángulo en otro color.
A
D
C
B8.4.5 Usar el Teorema de Pitágoras y su inversa para resolver problemas en dos o tres dimensiones.Ejemplo: Mide las dimensiones de una caja para zapatos y calcula el largo de una diagonal desde la parte superior derecha hasta la parte inferior izquierda de la caja. Mide con una cuerda para verificar tu solución.
* altitud: línea desde el vértice de un triángulo hasta juntarse al lado opuestoen un ángulo recto (altitud es en triangle ABC)
D
B
A
C
* bisectriz perpendicular: línea (o radio o segmento) en ángulo recto que divide a otra línea dada por la mitad( es la bisectriz perpendicular de )
A
B
O
C
D
* ángulo central: ángulo formado por la unión de dos puntos
sobre un círculo en el centro del mismo (ÐAOB es un ángulo central)
* cuerda: línea que une dos puntos en un círculo ( es una cuerda)
Estándar 5Las Medidas
Los estudiantes hacen conversiones entre unidades de medida y usan razones y factores de escala para resolver problemas. Calculan el perímetro, área y volumen de objetos geométricos. Investigan cómo el perímetro, área y volumen son afectados por cambios de escala.
8.5.1 Convertir medidas comunes de longitud, área, volumen, peso, capacidad y tiempo a medidas equivalentes dentro del mismo sistema. Ejemplo: El área de un salón es de 40 yardas cuadradas. ¿Cuál es el área en pies cuadrados?
8.5.2 Resolver problemas simples que utilizan razones y mediciones derivadas, como las características de la velocidad y la densidad.Ejemplo: Un automóvil viaja a 60 mph durante 20 minutos. ¿Qué distancia viaja el automóvil? ¿Cuáles son las unidades apropiadas para medir la distancia? Explica tu respuesta.
8.5.3 Resolver problemas que utilizan factores de escala, área y volumen, usando la razón y proporción. Ejemplo: Calcula el volumen y área de la superficie de cubos con un lado de 1 cm, 2cm, 3cm, etc. Haz una tabla con tus resultados y describe cualquier patrón en la tabla.
8.5.4 Usar fórmulas para buscar el perímetro y el área de figuras bidimensionales básicas y el área de la superficie y volumen de figuras tridimensionales básicas, como rectángulos, paralelogramos*, trapecios*, triángulos, círculos, prismas*, cilindros y pirámides.Ejemplo: Busca el área total de la superficie de un prisma triangular recto de 14 pies de alto y con una base que mide 8 pies por 6 pies.
8.5.5 Estimar y calcular el área de las figuras de dos dimensiones irregulares y del volumen de figuras tridimensionales dividiendo las figuras en objetos geométricos más básicos.Ejemplo: Busca el volumen de una casa para perro que tiene un espacio rectangular de 3 pies por 2 pies por 5 pies y tiene un techo triangular que mide 1.5 pies más alto que las paredes de la casa.
* paralelogramo: una figura de cuatro lados con dos pares de lados opuestos paralelos.
* trapecio: una figura de cuatro lados con solo un par de lados opuestos paralelos.
* prisma: una figura sólida con sección transversal compuesta (un prisma recto es una figura sólida con dos caras paralelas que son polígonos y otras caras que son rectángulos)
Estándar 6Análisis de Datos y Probabilidad
Los estudiantes recogen, organizan e interpretan las relaciones en conjuntos de datos que tienen una o más variables. Determinan probabilidades y las usan para hacer predicciones sobre sucesos.
8.6.1 Identificar afirmaciones basadas en datos estadísticos y en casos simples, evaluar la sensatez de las afirmaciones. Diseñar un estudio para investigar la afirmación. Ejemplo: Un estudio muestra que los adolescentes que usan cierta marca de pasta de dientes tienen menos caries que aquéllos que usan otras marcas. Describe cómo se puede comprobar esta afirmación en tu escuela.
8.6.2 Identificar métodos diferentes para la selección de las muestras, analizando los atributos y defectos de cada método y el posible prejuicio en una muestra o representación. Ejemplo: Describe el posible prejuicio en la siguiente encuesta. Una estación de televisión local tiene diariamente un programa de encuestas por teléfono. Se les piden a los espectadores de los noticieros de la mañana y mediodía que llamen un número telefónico para contestar “sí” y otro número diferente para contestar “no”. Los resultados se dan en el noticiero de las seis.
8.6.3 En un conjunto de datos, comprender el significado, poder identificar o calcular el mínimo, el cuartil inferior*, la mediana*, el cuartil superior*, la distancia entre cuartiles y el máximo.Ejemplo: Arregla un conjunto de resultados de un examen en orden creciente y busca el resultado más bajo y el más alto, la mediana, y el cuartil superior e inferior.
8.6.4 Analizar, interpretar y representar datos de una o dos variables en gráficos de barras, lineales y circulares apropiadas; diagramas de tallo y hojas*; y diagramas de caja y bigotes* y explicar cuáles tipos de representación son apropiados para varios conjuntos de datos. Ejemplo: El diagrama de caja y bigotes siguiente muestra tiempos ganadores (horas:minutos) para la carrera “Indianapolis 500” en años seleccionados.
“
En los años de 1951-1965 el tiempo más bajo fue 3 horas 53 min. Explica cómo el tiempo más bajo cambió a través de los años 1951-1995. ¿Cómo cambiaron los tiempos ganadores durante ese período? ¿Cómo cambiaron los tiempos de la mediana (término medio) en el mismo período?
8.6.5 Representar datos de dos variables con un diagrama de dispersión* sobre un plano coordenado y describir cómo se distribuyen los puntos de datos. Si el patrón parece ser lineal, dibuja una línea donde mejor encajen los datos y escribe la ecuación de esa línea.Ejemplo: Haz una encuesta con algunos de los estudiantes de cada grado en tu escuela. Pregúntales cuánto tiempo pasan en su tarea. Traza el grado y tiempo de cada estudiante como un punto (grado, tiempo) sobre un diagrama de dispersión. Describe y justifica cualquier relación entre grado y tiempo dedicado a la tarea.
8.6.6 Comprender y reconocer sucesos igualmente probables. Ejemplo: Cuando haces rodar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número sobre la cara superior sea un 6? Explica tu respuesta.
8.6.7 Buscar el número de posibles arreglos de varios objetos usando el Principio Básico de Contar. Ejemplo: Piensas poner cuatro fotos en una línea sobre un estante. Busca el número de arreglos en que puedes poner las cuatro fotos.
* cuartil inferior: el valor que separa el cuarto más bajo de valores del resto de los valores.
* mediana: el valor que divide un conjunto de datos escritos en orden de tamaño en dos partes iguales
* cuartil superior: el valor que separa el cuarto más alto de valores del resto de los valores
* diagrama de tallo y hoja: por ejemplo, este diagrama muestra 62, 63, 67, 71, 75, 75, 76, etc.
Tallo Hoja
6 2 3 7
7 1 5 5 6 8 9
8 0 1 1 2 3 3 5 7 8 8
9 1 2 2 3 3 4
* diagrama de caja y bigote: diagrama que muestra la mediana (término medio), cuartiles y distancia (ver el diagrama en la página anterior)
* diagrama de dispersión: un gráfico coordenado que muestra pares de datos ordenados
Estándar 7Solución de Problemas
Los estudiantes toman decisiones sobre cómo enfrentarse con los problemas y comunicar sus ideas.
8.7.1 Analizar los problemas identificando las relaciones, distinguiendo la información relevante de la irrelevante, identificando la información que falta, poniendo la información en orden de secuencia y de prioridad y observando los patrones.Ejemplo: Resuelve este problema: Para las computadoras, los números binarios son perfectos porque son sencillos y usan sólo dos valores de voltaje, magnetismo u otra señal. Esto hace más fácil el diseño del equipo de cómputo (hardware) y más resistente a la interferencia. Los números binarios permiten representar cualquier cantidad deseada con sólo dos dígitos: 0 y 1. El número que se obtiene cuando se cuenta 10 objetos se escribe 1010. En una notación desarrollada esto es 1 ´ 23 + 0 ´ 22 + 1 ´ 21 + 0 ´ 20 . Escribe el número para trece en el sistema binario (base 2). Haz una lista organizada.
8.7.2 Hacer y justificar conjeturas matemáticas basadas en la descripción general de una pregunta o problema matemático.Ejemplo: En el primer ejemplo, si tienes únicamente dos símbolos, 0 y 1, luego un objeto: 1, dos objetos: 10, tres objetos: 11, cuatro objetos: 100. Predice el símbolo para cinco objetos.
8.7.3 Decidir cuándo y cómo dividir el problema en partes más simples. Ejemplo: En el primer ejemplo, escribe la notación desarrollada para el número cinco en base 2: comienza con el hecho de que 5 = 4 + 1.
Los estudiantes usan métodos, destrezas, y conceptos para buscar y comunicar las soluciones a los problemas.
8.7.4 Aplicar los métodos y resultados obtenidos en problemas más simples para resolver problemas más complejos. Ejemplo: En el primer ejemplo, escribe los primeros cinco números en notación de base 2 y busca un patrón.
8.7.5 Hacer y comprobar conjeturas usando el razonamiento inductivo.Ejemplo: En el primer ejemplo, predice la notación de base 2 para seis objetos, después usa la notación desarrollada para comprobar tu predicción.
8.7.6 Expresar la solución clara y lógicamente usando los términos y notación matemáticos apropiados. Apoyar las soluciones con evidencia en forma verbal y simbólica. Ejemplo: En el primer ejemplo, explica cómo encontrarás la notación de base 2 para trece objetos.
8.7.7 Reconocer las ventajas relativas de las soluciones exactas y aproximadas a los problemas y dar respuestas hasta un grado específico de exactitud. Ejemplo: Mide el largo y ancho de una cancha de baloncesto. Usa el Teorema de Pitágoras para calcular el largo de una diagonal. ¿Qué exactitud debe tener tu respuesta?
8.7.8 Seleccionar y aplicar los métodos apropiados para estimar los resultados de los cálculos de números racionales.Ejemplo: Usa una calculadora para buscar el cubo de 15. Verifica tu respuesta buscando los cubos de 10 y 20.
8.7.9 Usar gráficos para estimar soluciones y verificar las aproximaciones con métodos analíticos.Ejemplo: Usa una calculadora gráfica para trazar la línea recta x + y = 10. Usa ésta para estimar las soluciones de la desigualdad x + y > 10, al probar los puntos a cada lado de la línea.
8.7.10 Hacer cálculos precisos y verificar la validez de los resultados en el contexto del problema.Ejemplo: En el primer ejemplo, anota los primeros trece números en notación de base 2. Usa patrones o notación desarrollada para confirmar tu lista.
Los estudiantes determinan cuando una solución está completa y es razonable y avanza más allá de un problema en particular haciendo una generalización para otras situaciones.
8.7.10 Decidir si una solución es razonable en el contexto de la situación original.Ejemplo: En el ejemplo de la cancha de baloncesto, ¿depende la exactitud de tu respuesta de tu medida inicial?
8.7.11 Observar el método para encontrar la solución y demostrar un conocimiento conceptual del método al resolver problemas similares.Ejemplo: En el primer ejemplo, usa tu lista de números de base 2 y agrega números en base 2. Explica cómo funciona exactamente tu proceso de adición.
viernes, 17 de octubre de 2008
el uso de tiempo es determinante para un buen aprendizaje
El desarrollo de una mejor gestión del tiempo es un recorrido que puede comenzar con la ayuda de esta guía, pero para esto se requerirá práctica y seguir instrucciones que nos guiarán por el camino. Uno de los objetivos de este artículo es adquirir consciencia de cómo empleamos nuestro tiempo como recurso para organizar, priorizar y tener éxito en los estudios, en un contexto de actividades incompatibles como son los amigos, el trabajo, la familia, etc. En primer lugar: pon en práctica nuestro ejercicio de planificación horaria.Estrategias para un buen uso del tiempo:• Asignar bloques de tiempo para el estudio Como, por ejemplo, de unos 50 minutos cada uno. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que empiezas a perder la concentración?Hay estudiantes que, por diversas razones, necesitan descansar más a menudo. Los temas más difíciles también pueden requerir que se pare con más frecuencia. • Planificar repasos y actualizaciones semanales • Priorizar las tareasCuando se estudia, acostumbrarse a empezar con los temas o las tareas más difíciles. • Disponer de lugares alternativos para el estudio libres de distraccionesPara concentrarse al máximo • ¿Dispones de algún “tiempo muerto”?Pensar en usar el tiempo que se utiliza en caminar, desplazamientos en automóvil, etc. para estudiar “pequeñas lecciones” • Repasar la materia antes de ir a clase • Repasar la materia inmediatamente después de clase (el olvido es mayor dentro de las 24 horas sin repaso) • Asignar tiempo para las ocasiones especiales como trabajos, ponencias, exámenes, etc. Herramientas efectivas:• Haz una lista de “las cosas a hacer”Apunta en ella las cosas que tienes que hacer, luego decide qué hacer en el momento, qué programar para más tarde, qué dejar para que lo haga otra persona y qué dejar para un poco más tarde. • Planificación horaria diaria/semanalApunta las citas, clases y reuniones en una agenda, cuaderno o calendario. Si eres una persona más bien visual (que piensa con imágenes), elabora tu propio calendario. Todas las mañanas, comprueba lo que hay que hacer ese día. Ve siempre a dormir sabiendo que estás preparado para el día siguiente • Planificación a largo plazoUsa un calendario mensual de modo que siempre puedas hacer planes por adelantado. Los planes a largo plazo también sirven como recordatorio de que hay que reservar tiempo para uno mismo de una forma constructiva. Tomado de: Estudio: Guías y Estrategias
la escuela en busca de soluciones electricas
la escuela proyecto agrario en su afán por buscar solución al problema eléctrico que pasa en la comunidad del pescozón sostuvo una importante reunión con los representantes de la compañía eléctrica edenorte en la provincia la cual fue muy frutifera por los acuerdos a los que se llegaron.Este es un punto mas de los tantos aportes que hace la escuela por el desarrollo de la comunidad educativa.
Algunos descubrimientos y acontecimientos destacables de la matemática del siglo XX
Algunos descubrimientos y acontecimientos destacables de la matemática del siglo XX
1900
Problemas de Hilbert, que en 1899 escribe los Fundamentos de la Geometría, que confieren rigurosidad al método euclídeo y lo convierten en uno de mayor alcance, y fecundo en problemas de toda índole.Segundo Congreso Internacional París: Hilbert presentó los 23 problemas de los que consideraba que debían ocuparse los matemáticos durante el siglo XX.
1901
Josiah Willard Gibbs publica su obra Elementary Principles in Statistical Mechanics.
1902
Aparecen los trabajos epistemológicos de Poincaré.
1903
Russell (1872-1970): Los principios de la matemática.Teoría de la integración de Lebesgue.Fredholm: Teoría de las ecuaciones integrales lineales (determinantes de Fredholm).
1904
Lebesgue: lecciones sobre la integración y la investigación de las funciones primitivas (integrales en el sentido de Lebesgue).Zermelo formula el "axioma de elección".Helge Van Koch propuso la curva continua cerrada.
1905
Espacios abstractos de Frechet.
1906
Cálculo funcional Frechet.
1907
Brouwer y el intuicionismo.Dickson inicia la teoría congruente de las formas.
1908
Zermelo axiomatiza la teoría de conjuntos.
1910
Publicación del VOL.1 de los Principia Matemática (fundamentos del logicismo) de Russell y Whitehead.Axioma de Zermelo.Skinitz: fundador del álgebra moderna.Steinitz, teoría algebraica de los cuerpos.
1914
Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre.
1915
Teoría geométrica de las ecuaciones de Enriquez.
1916
Borel: Cálculo de probabilidades.
1917
Hardy y Ramanujan sobre la teoría de los números.
1918
Integral de Lebesgue.
1920
Teoría de la demostración matemática de Hilbert.
1922
Elie Cartan: teoría de los espacios generalizada, concepto de un espacio sin curvatura, con paralelismo absoluto
1923
Espacios de Banach.Komogorov demostró la existencia de funciones integrables cuyas series de Fourier divergen en casi todos los puntos, salvo un conjunto de medida cero.
1925
Brouwer: sobre los fundamentos de la matemática intuicionista.
1927
Se presenta el trabajo de Emma Noether, Helmut Hasse y Richard Brauer sobre álgebras no conmutativas.
1928
Von Mises publica Probabilidad, estadística y verdad.
1929
En el congreso de Praga, organizado por el círculo de Viena, se discuten las distintas tendencias que protagonizaban la llamada “crisis de los fundamentos entonces vigentes”.
1930
Van Der Waerden, Álgebra moderna.Weyl sucede a Hilbert en Gottinga.
1931
Teorema de incompletitud de Gödel (matemático) sobre la no contradicción de la aritmética.Artin: Introducción a la geometría y álgebra analíticas.Von Mises introduce la idea de un espacio de muestra en la teoría de las probabilidades.
1933
Dimisión de Weyl en Gottinga. Kolmogorov publica los fundamentos de la teoría de la probabilidad, que presenta un tratamiento axiomático de la probabilidad.
1934
Teorema de Gelfond y Schneider: solucionan independientemente el séptimo problema de Hilbert.Turing probó que el razonamiento humano es mucho más que un algoritmo (1936).Zorn establece el “lema de Zorn”.
1935
Comienzan a aparecer los Elementos de matemática, de Bourbaki.
1936
Medallas Fields (Oslo)Lars Valerian Ahlfors: galardonado por sus estudios en recubrimiento de superficies de Reimann y funciones inversas de variable entera y funciones meromórficas. Abrió nuevos campos al análisis.Jesse Douglas: importante trabajo en el problema de Plateau.
1938
Kart Gödel probó, en el marco de los axiomas de Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos, que la hipótesis del continuo no puede ser rebatida.Kolmogorov publica los métodos analíticos de la teoría de las probabilidades, que pone las bases de la teoría de los procesos al azar de Harkov.
1939
Fundación del grupo Nicolás Bourbaki.
1944
Eilenberg: topología algebraica.Siegel dio la primera demostración de un enunciado de Gauss, de la teoría del número-clase de los binarios cuadráticos.Teoría de juegos de Von Neumann y Morgenstern.
1945
Schwartz publicó su teoría de distribuciones.
1948
Weiner: cibernética.
1950
Carnap publica Logical Foundations of Probability. Hodge propone la “conjetura de Hodge”.Medallas FieldsLaurent Schwartz, que desarrolló la teoría de distribuciones, logró una nueva notación y generalización de la función definida por Dirac, función delta de la física teórica.Atle Selberg desarrolló la generalización de los métodos sieve de Viggo Brun.
1951
La inteligencia artificial recibió una contribución sustancial con la teoría del análisis de Shanon sobre el ajedrez.Serre descubre conexiones entre los grupos de las homologáis y los homotopy de un espacio.
1952
Hormander comienza a trabajar en la teoría de ecuaciones diferenciales.
1954
Kolmogorov publica su segundo documento sobre la teoría de sistemas dinámicos.Medallas FieldsKunihiko Kodaira: consiguió importantes resultados en la teoría de integrales armónicas y aplicaciones numéricas.Jean-Pierre Serre: consiguió importantes resultados en grupos de homotopía de esferas. Reformuló algunos de los principales resultados de teoría de variables complejas.
1955
Cartan y Eilenberg desarrollan el álgebra homológica, que permite métodos algebraicos de gran alcance y los métodos topológicos que se relacionarán.Taniyama plantea su conjetura sobre las curvas elípticas que contribuirá en la prueba del último teorema de Fermat.
1957
Kolmogorov resuelve el decimotercero problema de Hilbert
1958
Medallas FieldsKlaus Friedrich Roth: resolvió en 1955 el famoso problema de Thue-Siegel.René Thom es galardonado por sus desarrollos y estudios en topología algebraica.
1960
A. Robinson inventa el análisis no estándar.
1961
Smale prueba la conjetura de Poincaré de dimensión mayor a 4
1962
Medallas FieldsLars Hörmander: trabajo en ecuaciones en derivadas parciales. Contribuyó a la teoría general de operadores lineales diferenciales. John Willard Milnor: comprobó que la esfera 7- dimensional puede tomar varias estructuras diferenciales.
1963
Paul J. Cohen demostró que los axiomas de Zermelo–Fraenkel no son suficientes para probar la hipótesis del continuo. Aparición de la teoría del caos.
1964
Teoría de las catástrofes.Hironaka soluciona un problema importante referente a la resolución de singularidades.
1965
L. Carleson logró demostrar la conjetura de Lusin.Bombieri prueba el “teorema del valor medio de Bombieri”.
1966
Congreso Internacional de Matemáticos Moscú.Lander y Parkin utilizan una computadora para encontrar un contraejemplo a la conjetura de Euler.Medallas FieldsMichael Francis Atyah: galardonado por sus trabajos junto con Hirzebruch, Singer y Bott, sobre operadores lineales diferenciales.Paul Joseph Cohen: galardonado por sus trabajos en teoría de juegos.Alexander Grothendieck: galardonado por sus trabajos en geometría algebraica.Stephen Smale: trabajo en topología diferencial.
1970
Usando los trabajos de Martin Duvis, Hilary Putman y Julia Robinson, Yuri Matejasevich respondió negativamente a la cuestión de la existencia de un algoritmo para resolver ecuaciones diofánticas.Medallas FieldsAlan Backer: generalizó el teorema de Gelfoond-Schneider.Heisuke Hironaka: generalizó el trabajo de Zariski, que había probado para dimensión <=3 el teorema concerniente a la resolución de singularidades en variedades algebraicas. Hironaka probó los resultados para cualquier dimensión.Serge Petrovich Novikov: realizó importantes avances en topología algebraica.John Griggs Thompson: galardonado por su trabajo en teoría de grupos finitos.
1971
Se funda la Comisión Internacional de Historia de la matemática, que en 1974 inicia la publicación de Historia matemática.
1972
Clasificación de Gorestein de los grupos finitos.THOM publica Estabilidad estructural y morfogénesis, ensayo de una teoría general de los modelos. Se introducen nuevas nociones matemáticas y la primera tentativa sistemática de pensar en términos geométricos y topológicos los problemas de la regulación biológica, tales como la estabilidad estructural de las formas.
1973
Chen Jingrun realiza una contribución importante a la conjetura de Goldbach.
1974
Medallas FieldsEnrico Bombieri: galardonado por sus trabajos en la teoría de funciones de varias variables complejas y ecuaciones en derivadas parciales.David Bryant Mumford: galardonado por su trabajo en teoría de superficie algebraica.
1976
Appel y Haken demuestran el problema de los cuatro colores con el trabajo de 1200 horas en una computadora donde examina alrededor de 1500 configuraciones.
1977
Mandelbrot publica su primer ensayo sobre teoría de fractales: “Fractales: forma, azar y dimensión”. Los fractales representan a la vez una teoría matemática y un método para analizar una gran diversidad de fenómenos de la naturaleza.
1978
Medallas FieldsPierre René Deligne: sus trabajos unificaron la geometría algebraica y la teoría algebraica de los números.Charles Louis Feffeerman: contribuyó con varias innovaciones en el estudio del análisis complejo multidimensional y encontró generalizaciones de los resultados clásicos de menor dimensión.Gregori Aleksandrovitch Margulis: galardonado por sus trabajos en combinatoria, geometría diferencial, sistemas dinámicos y grupos de Lie.Daniel G. Quillen: principal creador de la K-teoría algebraica, y de las nuevas y exitosas herramientas en geometría y métodos topológicos. Trabajó también en teoría de anillo y de cuerpos.
1980
Teoría de fractales de Mandelbrot.
1983
Faltings prueba la conjetura de Mordell, contribuyendo así a la demostración del último teorema de Fermat.Medallas FieldsAlain Connes: contribuyó a la teoría de operadores algebraicos y geometría diferencial en general.William Paul Thurston: revolucionó el estudio de la topología en 2 y 3 dimensiones, actuando conjuntamente entre análisis, topología y geometría. Congreso Internacional -Varsovia.Apareció el último volumen de los Elements, de Bourbaki.
1984
La teoría de nudos, de Jones.Louis de Orange soluciona la conjetura de Bieberbach.
1986
Medallas FieldsSimon Kirwan Donaldson: recibió la medalla por sus trabajos en topología.Gerd Faltings: recibió la medalla por probar la conjetura de Mordell.Michael Hartley Freedman: desarrolló métodos topológicos. Unos de sus resultados fue la demostración de conjetura 4-dimensional de Poincaré.Jean-Christophe Yacooz: galardonado por sus trabajos en sistemas dinámicos.Efin I. Zelmanov: galardonado por el estudio y solución del problema de Burnside.
1988
Elkies encuentra un contraejemplo a la conjetura de Euler con n = 4
1989
Bourgain, usando métodos analíticos y probabilísticos, soluciona un problema de la teoría del espacio de Banach y análisis armónico.
1990
Medallas FieldsVladimir Gershonovich Drifeld: galardonado por sus trabajos en teoría de grupos y teoría de números.Vaughan Frederick Randal Jones: fue premiado trabajando en University of California, Berkeley, Estados Unidos.Shiegefumi Mori: galardonado por sus trabajos en álgebra, y por ser el primero en demostrar la conjetura de Hartshorne en 1978.Edward Witten: sus estudios se centraron en física teórica, alcanzando un nivel de matemática que lo llevó a ser galardonado con la Medalla.
1991
Zelmanov soluciona el problema de Burnside.
1994
Medallas FieldsJean Bourgain: galardonado por su trabajo en ecuaciones en derivadas parciales con aplicación a la física.Pierre-Louis Lions: galardonado por sus trabajos en ecuaciones de Halmilton-Jacobi.Shing-Thung Yau: hizo contribuciones en ecuaciones diferenciales, geometría algebraica, teoría de la relatividad, y ecuaciones reales y complejas de Monge-Ampere.
1996
Larry Wos y Mac Cunne diseñan un programa con el que consiguen demostrar que toda álgebra de Robbins es un álgebra de Boole.
1998
Thomas C. Hales resuelve la conjetura de Kepler.Medallas FieldsAndrew Wiles: mención especial por la demostración del último teorema de Fermat. No se le concedió la medalla Fields por haber pasado la barrera de los 40 años.Richard E. Borcherds: galardonado por su trabajo en álgebra y geometría, y en particular por sus introducciones en álgebra de vértices y álgebras Kac-Moody.W.Timothy Gowers: galardonado por sus trabajos en análisis funcional basado en gran medida en la utilización de métodos combinatorios.Maxim Konstsevich: galardonado por sus trabajos en física matemática, geometría y topología algebraica.Curtis T. Mc Mullen: galardonado por sus trabajos en dinámica compleja (teoría del caos) y geometría hiperbólica.
1999
Siguiendo la estrategia de Wiles, los matemáticos Brenil, Conrad, Diamond y Taylor prueban la conjetura de Taniyama-Shimura–Weil para todas las curvas elípticas.
Bibliografía
Acuña Nelci, Noemí (2002), “Estudio de las metáforas en algunas teorías matemáticas del siglo XX”, tesis de maestría en Epistemología y metodología de la investigación.
Bell, E.T. (1940), Historia de las matemáticas, Fondo de Cultura Económica, México, 1995.
Boyer B., Carl.(1986), Historia de la Matemática, versión en español: Mariano Martinez Pérez. Título original: An History of Mathematics. Esta traducción está autorizada por John Wiley y Sons Inc. Primera edición en Alianza Universidad textos, 1986. Cuarta reimpresión en Universidad textos.
De Guzmán, Miguel, “Algunos aspectos insólitos de la actividad matemática” http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/aspectosinsolitos/aspectosinsolitos.html
Rey Pastor y Babini, José (1986), Historia de la matemática, Vol 2. Del Renacimiento a la Actualidad, Ed. Gedisa, Barcelona, España.
La conferencia completa de Hilbert puede encontrarse en: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html
1900
Problemas de Hilbert, que en 1899 escribe los Fundamentos de la Geometría, que confieren rigurosidad al método euclídeo y lo convierten en uno de mayor alcance, y fecundo en problemas de toda índole.Segundo Congreso Internacional París: Hilbert presentó los 23 problemas de los que consideraba que debían ocuparse los matemáticos durante el siglo XX.
1901
Josiah Willard Gibbs publica su obra Elementary Principles in Statistical Mechanics.
1902
Aparecen los trabajos epistemológicos de Poincaré.
1903
Russell (1872-1970): Los principios de la matemática.Teoría de la integración de Lebesgue.Fredholm: Teoría de las ecuaciones integrales lineales (determinantes de Fredholm).
1904
Lebesgue: lecciones sobre la integración y la investigación de las funciones primitivas (integrales en el sentido de Lebesgue).Zermelo formula el "axioma de elección".Helge Van Koch propuso la curva continua cerrada.
1905
Espacios abstractos de Frechet.
1906
Cálculo funcional Frechet.
1907
Brouwer y el intuicionismo.Dickson inicia la teoría congruente de las formas.
1908
Zermelo axiomatiza la teoría de conjuntos.
1910
Publicación del VOL.1 de los Principia Matemática (fundamentos del logicismo) de Russell y Whitehead.Axioma de Zermelo.Skinitz: fundador del álgebra moderna.Steinitz, teoría algebraica de los cuerpos.
1914
Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre.
1915
Teoría geométrica de las ecuaciones de Enriquez.
1916
Borel: Cálculo de probabilidades.
1917
Hardy y Ramanujan sobre la teoría de los números.
1918
Integral de Lebesgue.
1920
Teoría de la demostración matemática de Hilbert.
1922
Elie Cartan: teoría de los espacios generalizada, concepto de un espacio sin curvatura, con paralelismo absoluto
1923
Espacios de Banach.Komogorov demostró la existencia de funciones integrables cuyas series de Fourier divergen en casi todos los puntos, salvo un conjunto de medida cero.
1925
Brouwer: sobre los fundamentos de la matemática intuicionista.
1927
Se presenta el trabajo de Emma Noether, Helmut Hasse y Richard Brauer sobre álgebras no conmutativas.
1928
Von Mises publica Probabilidad, estadística y verdad.
1929
En el congreso de Praga, organizado por el círculo de Viena, se discuten las distintas tendencias que protagonizaban la llamada “crisis de los fundamentos entonces vigentes”.
1930
Van Der Waerden, Álgebra moderna.Weyl sucede a Hilbert en Gottinga.
1931
Teorema de incompletitud de Gödel (matemático) sobre la no contradicción de la aritmética.Artin: Introducción a la geometría y álgebra analíticas.Von Mises introduce la idea de un espacio de muestra en la teoría de las probabilidades.
1933
Dimisión de Weyl en Gottinga. Kolmogorov publica los fundamentos de la teoría de la probabilidad, que presenta un tratamiento axiomático de la probabilidad.
1934
Teorema de Gelfond y Schneider: solucionan independientemente el séptimo problema de Hilbert.Turing probó que el razonamiento humano es mucho más que un algoritmo (1936).Zorn establece el “lema de Zorn”.
1935
Comienzan a aparecer los Elementos de matemática, de Bourbaki.
1936
Medallas Fields (Oslo)Lars Valerian Ahlfors: galardonado por sus estudios en recubrimiento de superficies de Reimann y funciones inversas de variable entera y funciones meromórficas. Abrió nuevos campos al análisis.Jesse Douglas: importante trabajo en el problema de Plateau.
1938
Kart Gödel probó, en el marco de los axiomas de Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos, que la hipótesis del continuo no puede ser rebatida.Kolmogorov publica los métodos analíticos de la teoría de las probabilidades, que pone las bases de la teoría de los procesos al azar de Harkov.
1939
Fundación del grupo Nicolás Bourbaki.
1944
Eilenberg: topología algebraica.Siegel dio la primera demostración de un enunciado de Gauss, de la teoría del número-clase de los binarios cuadráticos.Teoría de juegos de Von Neumann y Morgenstern.
1945
Schwartz publicó su teoría de distribuciones.
1948
Weiner: cibernética.
1950
Carnap publica Logical Foundations of Probability. Hodge propone la “conjetura de Hodge”.Medallas FieldsLaurent Schwartz, que desarrolló la teoría de distribuciones, logró una nueva notación y generalización de la función definida por Dirac, función delta de la física teórica.Atle Selberg desarrolló la generalización de los métodos sieve de Viggo Brun.
1951
La inteligencia artificial recibió una contribución sustancial con la teoría del análisis de Shanon sobre el ajedrez.Serre descubre conexiones entre los grupos de las homologáis y los homotopy de un espacio.
1952
Hormander comienza a trabajar en la teoría de ecuaciones diferenciales.
1954
Kolmogorov publica su segundo documento sobre la teoría de sistemas dinámicos.Medallas FieldsKunihiko Kodaira: consiguió importantes resultados en la teoría de integrales armónicas y aplicaciones numéricas.Jean-Pierre Serre: consiguió importantes resultados en grupos de homotopía de esferas. Reformuló algunos de los principales resultados de teoría de variables complejas.
1955
Cartan y Eilenberg desarrollan el álgebra homológica, que permite métodos algebraicos de gran alcance y los métodos topológicos que se relacionarán.Taniyama plantea su conjetura sobre las curvas elípticas que contribuirá en la prueba del último teorema de Fermat.
1957
Kolmogorov resuelve el decimotercero problema de Hilbert
1958
Medallas FieldsKlaus Friedrich Roth: resolvió en 1955 el famoso problema de Thue-Siegel.René Thom es galardonado por sus desarrollos y estudios en topología algebraica.
1960
A. Robinson inventa el análisis no estándar.
1961
Smale prueba la conjetura de Poincaré de dimensión mayor a 4
1962
Medallas FieldsLars Hörmander: trabajo en ecuaciones en derivadas parciales. Contribuyó a la teoría general de operadores lineales diferenciales. John Willard Milnor: comprobó que la esfera 7- dimensional puede tomar varias estructuras diferenciales.
1963
Paul J. Cohen demostró que los axiomas de Zermelo–Fraenkel no son suficientes para probar la hipótesis del continuo. Aparición de la teoría del caos.
1964
Teoría de las catástrofes.Hironaka soluciona un problema importante referente a la resolución de singularidades.
1965
L. Carleson logró demostrar la conjetura de Lusin.Bombieri prueba el “teorema del valor medio de Bombieri”.
1966
Congreso Internacional de Matemáticos Moscú.Lander y Parkin utilizan una computadora para encontrar un contraejemplo a la conjetura de Euler.Medallas FieldsMichael Francis Atyah: galardonado por sus trabajos junto con Hirzebruch, Singer y Bott, sobre operadores lineales diferenciales.Paul Joseph Cohen: galardonado por sus trabajos en teoría de juegos.Alexander Grothendieck: galardonado por sus trabajos en geometría algebraica.Stephen Smale: trabajo en topología diferencial.
1970
Usando los trabajos de Martin Duvis, Hilary Putman y Julia Robinson, Yuri Matejasevich respondió negativamente a la cuestión de la existencia de un algoritmo para resolver ecuaciones diofánticas.Medallas FieldsAlan Backer: generalizó el teorema de Gelfoond-Schneider.Heisuke Hironaka: generalizó el trabajo de Zariski, que había probado para dimensión <=3 el teorema concerniente a la resolución de singularidades en variedades algebraicas. Hironaka probó los resultados para cualquier dimensión.Serge Petrovich Novikov: realizó importantes avances en topología algebraica.John Griggs Thompson: galardonado por su trabajo en teoría de grupos finitos.
1971
Se funda la Comisión Internacional de Historia de la matemática, que en 1974 inicia la publicación de Historia matemática.
1972
Clasificación de Gorestein de los grupos finitos.THOM publica Estabilidad estructural y morfogénesis, ensayo de una teoría general de los modelos. Se introducen nuevas nociones matemáticas y la primera tentativa sistemática de pensar en términos geométricos y topológicos los problemas de la regulación biológica, tales como la estabilidad estructural de las formas.
1973
Chen Jingrun realiza una contribución importante a la conjetura de Goldbach.
1974
Medallas FieldsEnrico Bombieri: galardonado por sus trabajos en la teoría de funciones de varias variables complejas y ecuaciones en derivadas parciales.David Bryant Mumford: galardonado por su trabajo en teoría de superficie algebraica.
1976
Appel y Haken demuestran el problema de los cuatro colores con el trabajo de 1200 horas en una computadora donde examina alrededor de 1500 configuraciones.
1977
Mandelbrot publica su primer ensayo sobre teoría de fractales: “Fractales: forma, azar y dimensión”. Los fractales representan a la vez una teoría matemática y un método para analizar una gran diversidad de fenómenos de la naturaleza.
1978
Medallas FieldsPierre René Deligne: sus trabajos unificaron la geometría algebraica y la teoría algebraica de los números.Charles Louis Feffeerman: contribuyó con varias innovaciones en el estudio del análisis complejo multidimensional y encontró generalizaciones de los resultados clásicos de menor dimensión.Gregori Aleksandrovitch Margulis: galardonado por sus trabajos en combinatoria, geometría diferencial, sistemas dinámicos y grupos de Lie.Daniel G. Quillen: principal creador de la K-teoría algebraica, y de las nuevas y exitosas herramientas en geometría y métodos topológicos. Trabajó también en teoría de anillo y de cuerpos.
1980
Teoría de fractales de Mandelbrot.
1983
Faltings prueba la conjetura de Mordell, contribuyendo así a la demostración del último teorema de Fermat.Medallas FieldsAlain Connes: contribuyó a la teoría de operadores algebraicos y geometría diferencial en general.William Paul Thurston: revolucionó el estudio de la topología en 2 y 3 dimensiones, actuando conjuntamente entre análisis, topología y geometría. Congreso Internacional -Varsovia.Apareció el último volumen de los Elements, de Bourbaki.
1984
La teoría de nudos, de Jones.Louis de Orange soluciona la conjetura de Bieberbach.
1986
Medallas FieldsSimon Kirwan Donaldson: recibió la medalla por sus trabajos en topología.Gerd Faltings: recibió la medalla por probar la conjetura de Mordell.Michael Hartley Freedman: desarrolló métodos topológicos. Unos de sus resultados fue la demostración de conjetura 4-dimensional de Poincaré.Jean-Christophe Yacooz: galardonado por sus trabajos en sistemas dinámicos.Efin I. Zelmanov: galardonado por el estudio y solución del problema de Burnside.
1988
Elkies encuentra un contraejemplo a la conjetura de Euler con n = 4
1989
Bourgain, usando métodos analíticos y probabilísticos, soluciona un problema de la teoría del espacio de Banach y análisis armónico.
1990
Medallas FieldsVladimir Gershonovich Drifeld: galardonado por sus trabajos en teoría de grupos y teoría de números.Vaughan Frederick Randal Jones: fue premiado trabajando en University of California, Berkeley, Estados Unidos.Shiegefumi Mori: galardonado por sus trabajos en álgebra, y por ser el primero en demostrar la conjetura de Hartshorne en 1978.Edward Witten: sus estudios se centraron en física teórica, alcanzando un nivel de matemática que lo llevó a ser galardonado con la Medalla.
1991
Zelmanov soluciona el problema de Burnside.
1994
Medallas FieldsJean Bourgain: galardonado por su trabajo en ecuaciones en derivadas parciales con aplicación a la física.Pierre-Louis Lions: galardonado por sus trabajos en ecuaciones de Halmilton-Jacobi.Shing-Thung Yau: hizo contribuciones en ecuaciones diferenciales, geometría algebraica, teoría de la relatividad, y ecuaciones reales y complejas de Monge-Ampere.
1996
Larry Wos y Mac Cunne diseñan un programa con el que consiguen demostrar que toda álgebra de Robbins es un álgebra de Boole.
1998
Thomas C. Hales resuelve la conjetura de Kepler.Medallas FieldsAndrew Wiles: mención especial por la demostración del último teorema de Fermat. No se le concedió la medalla Fields por haber pasado la barrera de los 40 años.Richard E. Borcherds: galardonado por su trabajo en álgebra y geometría, y en particular por sus introducciones en álgebra de vértices y álgebras Kac-Moody.W.Timothy Gowers: galardonado por sus trabajos en análisis funcional basado en gran medida en la utilización de métodos combinatorios.Maxim Konstsevich: galardonado por sus trabajos en física matemática, geometría y topología algebraica.Curtis T. Mc Mullen: galardonado por sus trabajos en dinámica compleja (teoría del caos) y geometría hiperbólica.
1999
Siguiendo la estrategia de Wiles, los matemáticos Brenil, Conrad, Diamond y Taylor prueban la conjetura de Taniyama-Shimura–Weil para todas las curvas elípticas.
Bibliografía
Acuña Nelci, Noemí (2002), “Estudio de las metáforas en algunas teorías matemáticas del siglo XX”, tesis de maestría en Epistemología y metodología de la investigación.
Bell, E.T. (1940), Historia de las matemáticas, Fondo de Cultura Económica, México, 1995.
Boyer B., Carl.(1986), Historia de la Matemática, versión en español: Mariano Martinez Pérez. Título original: An History of Mathematics. Esta traducción está autorizada por John Wiley y Sons Inc. Primera edición en Alianza Universidad textos, 1986. Cuarta reimpresión en Universidad textos.
De Guzmán, Miguel, “Algunos aspectos insólitos de la actividad matemática” http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/aspectosinsolitos/aspectosinsolitos.html
Rey Pastor y Babini, José (1986), Historia de la matemática, Vol 2. Del Renacimiento a la Actualidad, Ed. Gedisa, Barcelona, España.
La conferencia completa de Hilbert puede encontrarse en: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html
propositos del Séptimo grado
En esta edad tecnológica, las matemáticas son más importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus clases, es cada vez más probable que usen las matemáticas en su trabajo y en la vida diaria: para operar equipos de computación, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar las finanzas personales y ejecutar otras tareas para resolver problemas. Todo lo que aprendan en matemáticas y la manera en que adquieran ese conocimiento les proporcionará una preparación excelente para un futuro exigente y en constante cambio.
El Estado de Indiana ha establecido los siguientes estándares para las matemáticas con el fin de aclararles a los maestros, a los estudiantes y a los padres cuáles son los conocimientos, entendimiento y destrezas que los estudiantes deben adquirir en el Séptimo Grado:
Estándar 1 — Sentido Numérico
La comprensión del sistema numérico es la base de las matemáticas. Los estudiantes continúan ampliando su comprensión hasta incluir números irracionales, tales como π y la raíz cuadrada del 2. Ellos comparan y ponen en orden números racionales e irracionales y convierten decimales terminales a fracciones. También usan exponentes para escribir números enteros en anotaciones científicas y para escribir las factorizaciones prima de los números.
Estándar 2 — Cálculo Aritmético
La fluidez en el cálculo aritmético es fundamental. Los estudiantes suman, restan, multiplican y dividen números enteros, fracciones y decimales. Resuelven problemas usando porcentajes, que incluyen el cálculo de descuentos, margen de ganancias y comisiones. Utilizan el cálculo mental para calcular fracciones, decimales y potencias simples.
Estándar 3 — Álgebra y sus Funciones
El álgebra es un lenguaje de patrones, reglas y símbolos. En este nivel, los estudiantes usan las variables y otros símbolos para traducir las descripciones verbales a ecuaciones y fórmulas. Escriben y resuelven ecuaciones y desigualdades lineales, y escriben y usan fórmulas para resolver problemas. También usan las propiedades de los números racionales para evaluar y simplificar expresiones algebraicas, y extienden más aun su conocimiento de los gráficos al investigar las tasas de cambio para funciones lineales y no lineales y al desarrollar y usar el concepto de la pendiente de una línea recta.
Estándar 4 — Geometría
Los estudiantes aprenden sobre figuras geométricas y desarrollan un sentido del espacio. Conectan la geometría a gráficos coordenados, usándolos para trazar formas, calcular el largo y el área y para buscar imágenes bajo transformaciones. Comprenden el Teorema de Pitágoras y lo usan para buscar longitudes en triángulos rectos. Ellos también construyen redes (patrones bidimensionales) para objetos tridimensionales, tales como prismas, pirámides, cilindros y conos.
Estándar 5 — Las Medidas
El estudio de las medidas es fundamental debido a su uso en muchos de los aspectos de la vida diaria. Los estudiantes toman medidas para comparar longitudes, áreas, volúmenes, pesos, tiempos, temperaturas, etc. Desarrollan el concepto de semejanza y lo usan para hacer dibujos en escala y modelos en escala y para resolver problemas relacionados a esos dibujos y modelos. Determinan las áreas y perímetros de figuras bidimensionales y volúmenes y áreas de la superficie de formas de tridimensionales, como las figuras irregulares compuestas de formas más básicas.
Estándar 6 — Análisis de Datos y Probabilidad
Las estadísticas nos rodean en periódicos y revistas, en las noticias y anuncios de televisión, en el control de calidad manufacturera y los estudiantes tienen que aprender cómo entender estas representaciones. En este nivel, ellos aprenden cómo representar los datos en gráficos de barras, lineales y circulares y en diagramas en forma de árbol. Analizan las representaciones de datos para determinar si son engañosas y analizan el vocabulario de las preguntas en una encuesta para determinar si éstas pueden influenciar los resultados. Buscan la probabilidad en sucesos desconectados. También ellos buscan el número de arreglos de objetos usando un diagrama en forma de árbol.
Estándar 7 — Solución de Problemas
En términos generales, las matemáticas es resolución de problemas. En todas las matemáticas los estudiantes usan las destrezas para resolver problemas: escogen cómo enfrentarse con un problema, explican su razonamiento y verifican sus resultados. Al ir desarrollando sus destrezas con los números irracionales, al analizar gráficos, o al buscar el área de las superficies, por ejemplo, los estudiantes pasan de ideas simples a unas más complejas dando los pasos lógicos que conducen a una mejor comprensión de las matemáticas.
Como parte de su instrucción y evaluación diagnóstica para completar el Grado 12, los estudiantes deberán además desarrollar las siguientes destrezas de aprendizaje, que se van entretejiendo con los estándares de las matemáticas:
Comunicación
La habilidad de leer, escribir, escuchar, preguntar, pensar y comunicar sobre matemáticas desarrollará y aumentará la comprensión de los estudiantes sobre los conceptos matemáticos. Los estudiantes deberán leer el texto, datos, tablas y gráficos con comprensión y entendimiento. Su escritura deberá ser detallada y coherente, y deberán usar el vocabulario matemático correcto. Los estudiantes deberán escribir para explicar las respuestas, justificar el razonamiento matemático y describir los métodos para resolver problemas.
Razonamiento y Prueba
Las matemáticas se desarrollan mediante el uso de ideas y conceptos conocidos para desarrollar otros. La suma repetida se convierte en la multiplicación. La multiplicación de números menores de diez se puede extender a números menores de cien y luego al sistema numérico completo. El conocimiento para calcular el área de un triángulo recto se extiende a todos los triángulos rectos. Extender patrones, encontrar números enteros, desarrollar fórmulas y probar el Teorema de Pitágoras son ejemplos de razonamiento matemático. Los estudiantes deberán aprender a observar, a generalizar, a hacer suposiciones basadas en la información conocida y a probar esas suposiciones.
Representación
El lenguaje matemático se expresa en palabras, símbolos, fórmulas, ecuaciones, gráficas y representaciones de datos. El concepto de un cuarto puede describirse como un cuarto, ¼, uno dividido par cuatro, 0.25, ⅛ + ⅛, 25 por ciento, o una porción sombreada correctamente en un gráfico en forma de pastel. Las matemáticas a niveles más altos implican el uso de representaciones más complejas: exponentes, logaritmos, π, incógnitas, representaciones de estadísticas, expresiones algebraicas y geométricas. Las operaciones matemáticas se expresan como representaciones: +, =, división, cuadrado. Las representaciones son instrumentos dinámicos para resolver problemas y comunicar y expresar las ideas y conceptos matemáticos.
Conexiones
La conexión de conceptos matemáticos incluye enlazar ideas nuevas con ideas relacionadas aprendidas anteriormente, lo cual ayuda a los estudiantes a ver las matemáticas como un conjunto de conceptos unificados que se desarrollan unos sobre otros. Se debe dar mayor énfasis a las ideas y conceptos entre las áreas de contenido matemático que ayudan a los estudiantes a ver las matemáticas como una red de ideas estrechamente conectadas (el álgebra, geometría, el sistema numérico ). Las matemáticas son también la lengua común de muchas otras disciplinas (ciencias, tecnología, finanzas, ciencias sociales, geografía) y los estudiantes deberán aprender los conceptos matemáticos usados en esas disciplinas. Finalmente, los estudiantes deberán establecer una conexión entre su aprendizaje matemático y los contextos apropiados de la vida real.
Estándar 1Sentido Numérico
Los estudiantes comprenden y usan la notación científica* y raíces cuadradas. Hacen conversiones entre fracciones y decimales.
7.1.1 Leer, escribir, comparar y resolver problemas usando números enteros en notación científica.Ejemplo: Escribe 300,000 en notación científica.
7.1.2 Comparar y poner números racionales* e irracionales* comunes en orden y colocarlos en una línea numérica.Ejemplo: Coloca en orden: -2, , -2.45, 0.9, π , -1 .
7.1.3 Identificar números racionales e irracionales comunes en una lista.Ejemplo: Menciona todos los números irracionales en esta lista: -2, , -2.45, 0.9, π , -1 .
7.1.4 Comprender y calcular la potencia entera de un número entero en números enteros.Ejemplo: 35 = 3 ´ 3 ´ 3 ´ 3 ´ 3 = ?
7.1.5 Buscar la factorización prima* de números enteros y escribir los resultados usando exponentes. Ejemplo: 24 = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 = 23 ´ 3.
7.1.6 Comprender y usar el concepto de la raíz cuadrada. Ejemplo: Explica cómo se puede encontrar el largo de la hipotenusa de un triángulo recto con lados que miden 5 cm y 12 cm.
7.1.7 Convertir decimales terminales* a fracciones reducidas. Ejemplo: Escribe 0.95 como una fracción.
* notación científica: manera corta de escribir números, al elevarlos a la décima potencia (por ej.: 300,000 = 3 ´ 105)
* número racional: cualquier número que pueda expresarse como una fracción (por ej.: , , )
* número irracional: cualquier número que no pueda expresarse como una fracción (por ej.: π, , 7π)
* factores primos: por ej. los factores primos del 12 son 2 y 3, los dos números primos que dividen al 12
* decimales terminales: decimales que no continúan indefinidamente (por ej., 0.362, 34.1857)
Estándar 2Cálculo Aritmético
Los estudiantes resuelven problemas con números enteros*, fracciones, decimales, razones y porcentajes.
7.2.1 Resolver problemas de suma, resta, multiplicación y división con números enteros, fracciones, decimales y combinaciones de las cuatro operaciones. Ejemplo: La temperatura un día es 5º. Luego baja por 3º cada día durante 4 días y, después sube 2º cada día durante tres días. ¿Cuál es la temperatura el último día? Explica tu método.
7.2.2 Calcular el aumento en el porcentaje y disminución en una cantidad.Ejemplo: La población de un país era 36 millones en 1990 y subió a 41.4 millones durante la década de 1990. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la población?
7.2.3 Resolver problemas que incluyan descuentos, margen de ganancias y comisiones. Ejemplo: Un comerciante compra discos compactos por $11 al por mayor y les pone un margen de ganancia de 35%. ¿Cuál es el precio al por menor?
7.2.4 Usar aproximaciones para decidir si las respuestas a problemas que incluyen fracciones y decimales son razonables.Ejemplo: Tu amigo dice que 3 ´ 2 = 10. Sin resolverlo, explica por qué crees que la respuesta es incorrecta.
7.2.5 Utilizar el cálculo mental para hacer cálculos con fracciones, decimales y potencias simples. Ejemplo: Busca 34 sin usar lápiz ni papel.
* números enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Estándar 3Álgebra y sus Funciones
Los estudiantes expresan relaciones cuantitativas usando la terminología algebraica, expresiones, ecuaciones, desigualdades y gráficas.
7.3.1 Usar variables y operaciones apropiadas para escribir una expresión, una fórmula, una ecuación, o una desigualdad que represente una descripción verbal. Ejemplo: Escribe en símbolos la desigualdad: 5 menos que el doble del número es mayor que 42.
7.3.2 Escribir y resolver ecuaciones lineales de dos pasos y desigualdades en una variable y verificar la respuesta.Ejemplo: Resuelve la ecuación 4x - 7 = 12 y verifica tu respuesta en la ecuación original.
7.3.3 Usar la terminología algebraica correcta, como variable, ecuación, término, coeficiente*, desigualdad, expresión y constante.Ejemplo: Di cuál es la variable, términos y coeficiente en esta ecuación: 7x + 4 = 67.
7.3.4 Evaluar expresiones numéricas y simplificar expresiones algebraicas aplicando el orden correcto de las operaciones y las características de los números racionales* (por ej.: propiedades identidad, inverso, conmutativo*, asociativo*, distributivo*). Justificar cada paso en el proceso.Ejemplo: Simplifica 3(4x + 5x - 1) + 2(x + 3) al quitar el paréntesis y reorganizar los elementos. Explica cada que das.
7.3.5 Resolver una ecuación o fórmula con dos variables para una variable en particular.Ejemplo: Resuelve la fórmula C = 2πr para la r.
7.3.6 Definir una pendiente como el cambio vertical por unidad del cambio horizontal y reconocer que una línea recta tiene una pendiente o tasa de cambio constante.Ejemplo: Examina una tabla de valores y haz una conjetura sobre si la tabla representa una función lineal.
7.3.7 Buscar la pendiente de una línea en su gráfico.Ejemplo: Dibuja el gráfico para y = 2x - 1. Selecciona dos puntos en el gráfico y divide el cambio en el valor de y por el cambio en el valor de x. Repite esto con otras parejas de puntos en el gráfico. ¿Qué observas?
7.3.8 Dibujar el gráfico para una línea, dados la pendiente y un punto en la línea, o dos puntos en la línea. Ejemplo: Dibuja el gráfico de la ecuación con una pendiente de 3 y pasando a través del punto con las coordenadas (0, -2).
7.3.9 Identificar las funciones como lineales o no lineales y examinar sus características en tablas, gráficos y ecuaciones. Ejemplo: Una planta crece más rápido de acuerdo con la fórmula H = 2d + 3, donde H es la altura después de d días. Dibuja el gráfico de esta función y explica lo que representa el punto donde ésta se encuentra con el eje vertical. ¿Es éste un gráfico lineal o no lineal?
7.3.10 Identificar y describir situaciones con tasas de cambio constantes o variables y saber que una tasa de cambio constante describe una función lineal. Ejemplo: En el último ejemplo, ¿cómo diferiría el gráfico si la velocidad de crecimiento de la planta cambiara?
* coeficiente: por ej.: 7 es el coeficiente en 7x
* número racional: cualquier número que pueda expresarse como una fracción (por ej.: , , )
* propiedad conmutativa: el orden al sumar o multiplicar números no importa (por ej.: 5 + 3 = 3 + 5), pero nótese que esto no es cierto en la resta o la división
* propiedad asociativa: la agrupación de los números al sumar y multiplicar no importa (por ej.: en 5 + 3 + 2, sumar 5 y 3 y luego sumar 2 es igual que 5 sumado a 3 + 2), pero nótese que esta regla no es válida para la resta o la división
* propiedad distributiva: por ej.: 3(5 + 2) = (3 ´ 5) + (3 ´ 2)
Estándar 4Geometría
Los estudiantes intensifican su conocimiento de las figuras geométricas planas y sólidas al construir figuras que satisfagan las condiciones dadas y al identificar los atributos de las figuras.
7.4.1 Comprender las gráficas coordenadas y usarlas para trazar figuras simples, para buscar el largo y el área relacionados a las figuras y buscar sus imágenes bajo traslaciones (deslizamientos), rotaciones (giros) y reflexiones (reveses).Ejemplo: Dibuja el triángulo con vértices (0, 0), (3, 0) y (0, 4). Busca el largo de los lados y el área del triángulo. Traslada (desliza) el triángulo 2 unidades hacia la derecha. ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo triángulo?
7.4.2 Comprender que transformaciones como los deslizamientos, rotaciones y reveses conservan el largo de los segmentos y que las figuras resultantes de los deslizamientos, rotaciones y reveses son congruentes con las figuras originales.Ejemplo: En el último ejemplo, busca el largo de los lados y el área del nuevo triángulo. Explica tus resultados.
7.4.3 Conocer y comprender el Teorema de Pitágoras y usarlo para buscar el largo del lado que falta en un triángulo recto y el largo de otros segmentos lineales. Tomar las medidas directamente para probar las conjeturas sobre los triángulos. Ejemplo: Usa el largo y ancho de tu salón de clases para calcular la distancia diagonal a través del salón. Verifica tu cálculo al medirla.
7.4.4 Construir patrones bidimensionales (redes) para objetos tri-dimensionales como prismas rectos*, pirámides, cilindros y conos. Ejemplo: Dibuja un rectángulo y dos círculos que encajen unos con otros para convertirse en un cilindro.
* congruente: con la misma forma y tamaño
* prisma recto: una figura tri-dimensional con dos caras congruentes que son polígonos y los demás lados son rectángulos
Estándar 5Las Medidas
Los estudiantes comparan las unidades de medir y usan la semejanza* para resolver problemas. Calculan el perímetro, el área y el volumen de objetos geométricos comunes y usan los resultados para buscar las medidas de objetos menos regulares.
7.5.1 Comparar los largos, áreas, volúmenes, pesos, capacidades, tiempos y temperaturas dentro de los sistemas de medidas.Ejemplo: El área del campo de tu escuela es 3 acres. ¿Cuántas yardas cuadradas es eso? Explica tu método.
7.5.2 Usar la experimentación y el modelaje para visualizar problemas de semejanza. Resolver problemas usando la semejanza. Ejemplo: A cierta hora, la sombra de tu edificio escolar es de 36 pies de largo. A la misma hora la sombra de una yarda de medir sujetada verticalmente es de 4 pies de largo. ¿Qué altura tiene el edificio escolar?
7.5.3 Interpretar y crear dibujos hechos a escala, construir modelos a escala y resolver problemas relacionados con las escalas.Ejemplo: En un plano de tu escuela, el salón de clases mide 5 cm de largo y 3 cm de ancho. El salón realmente mide 10 m de largo. ¿Qué anchura tiene el salón? Explica tu respuesta.
7.5.4 Usar fórmulas para buscar el perímetro y el área de figuras bi-dimensionales básicas y el área de la superficie y volumen de figuras tri-dimensionales básicas, que incluyen rectángulos, paralelogramos*, trapecios*, triángulos, círculos, prismas rectos* y cilindros. Ejemplo: Busca el área de la superficie de una lata cilíndrica de 15 cm de alto y un diámetro de 8 cm.
7.5.5 Hacer estimaciones y calcular el área de figuras bi-dimensionales más complejas o irregulares al dividirlas en figuras más básicas.Ejemplo: Un salón para alfombrarse es un rectángulo de 5 m por 4 m. Una chimenea semicircular de 1.5 m de diámetro ocupa parte del piso. Busca el área que va a alfombrarse.
7.5.6 Usar objetos y herramientas de modelaje geométrico para calcular el área de la superficie de las caras y el volumen de un objeto tri-dimensional formado por sólidos rectangulares. Ejemplo: Usando bloques, construye un modelo de un edificio de apartamentos. Busca su volumen y el área total de la superficie.
* similares: figuras que tienen la misma forma pero pueden no tener el mismo tamaño
* paralelogramo: una figura de cuatro lados cuyos lados opuestos son paralelos entre sí
* trapecio: una figura de cuatro lados que tiene paralelos solamente dos de sus lados
* prisma recto: una figura tri-dimensional con dos caras congruentes que son polígonos y los demás lados son rectángulos
Estándar 6Análisis de Datos y Probabilidad
Los estudiantes recogen, organizan y representan conjuntos de datos e identifican las relaciones entre las variables dentro de un conjunto de datos. Ellos determinan las probabilidades y las usan para hacer predicciones sobre sucesos.
7.6.1 Analizar, interpretar y demostrar datos en gráficos de barra, lineales o circulares y diagramas en forma de árbol* y justificar la elección para hacer la demostración.Ejemplo: Haces una encuesta entre los estudiantes de tu escuela para determinar cuál de los tres diseños de la portada de una revista prefieren ellos. Para demostrar los resultados, ¿cuál sería la forma más apropiada: una tabla de barras o un gráfico circular? Explica tu respuesta.
7.6.2 Hacer predicciones usando estadísticas. Ejemplo: Registra la temperatura y condiciones del tiempo (soleado, nublado, o lluvioso) a la 1 de la tarde diariamente por dos semanas. Durante la tercera semana, utiliza tus resultados para predecir la temperatura basada en las condiciones del tiempo.
7.6.3 Describir cómo los datos adicionales, principalmente los traídos de afuera, al añadirlos a un conjunto de datos podrían afectar la media*, la mediana* y la moda* .Ejemplo: Mides la estatura de los estudiantes en tu clase el día en que el equipo de baloncesto juega fuera del pueblo. Más tarde, mides a los jugadores del equipo y los incluye en tus datos. ¿Qué efecto tendrá en la media, la mediana y la moda la inclusión del equipo? Explica tu respuesta.
7.6.4 Analizar las tablas de datos y las maneras en que éstas pueden ser engañosas. Analizar los modos en que las palabras usadas en las preguntas pueden influenciar los resultados de una encuesta. Ejemplo: Un gráfico de barra sobre las ventas de una compañía parece mostrar que las ventas han subido más del doble desde el año pasado. Luego observas que el eje vertical comienza en $5 millones y puede ver que las ventas de hecho han aumentado de $5.5 millones a $6.2 millones.
7.6.5 Saber que si la P es la probabilidad de que un suceso ocurra, entonces 1 - P es la probabilidad de que ese suceso no ocurra.Ejemplo: El pronóstico del tiempo dice que la probabilidad de lluvia hoy es 0.3. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva?
7.6.6 Comprender que la probabilidad de que ocurran dos sucesos desconectados* es igual a la suma de dos probabilidades individuales.Ejemplo: Busca la probabilidad de sacar un 9 al tirar dos dados. Busca también la probabilidad de sacar un 10. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 9 ó un 10?
7.6.7 Buscar el número de posibles arreglos de algunos objetos usando un diagrama en forma de árbol. Ejemplo: Una placa de licencia de un estado contiene 6 dígitos y una letra. ¿Cuántas placas diferentes podrían hacerse si la letra tuviera que estar siempre en la tercera posición y el primer dígito no pudiera ser un cero?
* diagrama en forma de árbol: éste muestra 62, 63, 67, 71, 75, 75, 76, etc.
Tallo Hoja
6 2 3 7
7 1 5 5 6 8 9
8 0 1 1 2 3 3 5 7 8 8
9 1 2 2 3 3 4
* media: el promedio obtenido al sumar los valores y dividir por el número de valores
* mediana: el valor que divide un conjunto de datos escritos en orden de tamaño en dos partes iguales
* moda: el valor más común dentro de un sistema de datos
* sucesos desconectados (aislados): sucesos que no pueden ocurrir a la misma vez
Estándar 7Solución de Problemas
Los estudiantes toman decisiones sobre cómo enfrentarse con los problemas y comunicar sus ideas.
7.7.1 Analizar los problemas identificando las relaciones, identificando la información pertinente, identificando la información que falta, poniendo la información en orden secuencial y de prioridad y observando los patrones.Ejemplo: Resuelve este problema: Los primeros tres números triangulares se muestran en el diagrama siguiente. Busca una expresión para calcular el enésimo número triangular.
1 3 6
Busca los patrones.
7.7.2 Hacer y justificar conjeturas matemáticas basadas en la descripción general de una pregunta o problema matemático.Ejemplo: En el primer ejemplo, observa que tres puntos hacen un triángulo equilátero para el número 3 y que seis puntos hacen el próximo triángulo equilátero.
7.7.3 Decidir cuándo y cómo dividir el problema en partes más simples. Ejemplo: En el primer ejemplo, haz un diagrama para el cuarto y quinto número triangular.
Los estudiantes usan métodos, destrezas, y conceptos para buscar y comunicar las soluciones a los problemas.
7.7.4 Aplicar los métodos y resultados obtenidos en problemas más simples para resolver problemas más complejos. Ejemplo: En el primer ejemplo, haz una lista de las diferencias entre cualesquiera dos números triangulares.
7.7.5 Hacer y comprobar conjeturas usando el razonamiento inductivo.Ejemplo: En el primer ejemplo, predice la diferencia entre los números quinto y sexto y usa esto para predecir el sexto número triangular. Haz un diagrama para comprobar tu conjetura.
7.7.6 Expresar la solución clara y lógicamente usando los términos y notación matemáticos apropiados. Apoyar las soluciones con evidencia en forma verbal y simbólica. Ejemplo: En el primer ejemplo, usa palabras, números y tablas para resumir tu trabajo con números triangulares.
7.7.7 Reconocer las ventajas relativas de las soluciones exactas y aproximadas a los problemas y dar respuestas hasta un grado específico de exactitud. Ejemplo: Calcula la cantidad de aluminio necesaria para hacer una lata con un diámetro de 10 cm que tenga 15 cm de alto y 1 mm de grueso. Usa π como 3.14 y da tu respuesta hasta la exactitud apropiada.
7.7.8 Seleccionar y usar los métodos apropiados para estimar los resultados de los cálculos de números racionales.Ejemplo: Mide las dimensiones de una piscina para buscar su volumen. Da una respuesta aproximada al usar una profundidad mediana.
7.7.9 Hacer gráficos para estimar las soluciones y verificar los estimados mediante medios analíticos.Ejemplo: Usa una calculadora de gráficas para determinar el punto en que se cruzan las líneas rectas y = 2x + 3 y x + y = 10. Confirma tu respuesta verificándola en las ecuaciones.
7.7.10 Hacer cálculos precisos y verificar la validez de los resultados en el contexto del problema.Ejemplo: En el primer ejemplo, comprueba que tus resultados posteriores están de acuerdo con los anteriores. De no ser así, haz los cálculos nuevamente para asegurarte.
Los estudiantes determinan cuándo una solución está completa y es razonable y va más allá de un problema en particular haciendo una generalización para otras situaciones.
7.7.11 Decidir si una solución es razonable en el contexto de la situación original.Ejemplo: En el primer ejemplo, calcula el décimo número triangular y dibuja el triángulo de puntos que le corresponda.
7.7.12 Observar el método para encontrar la solución y demostrar conocimiento conceptual del método al resolver problemas similares.Ejemplo: Usa tu método en el primer ejemplo para investigar los números pentagonales.
El Estado de Indiana ha establecido los siguientes estándares para las matemáticas con el fin de aclararles a los maestros, a los estudiantes y a los padres cuáles son los conocimientos, entendimiento y destrezas que los estudiantes deben adquirir en el Séptimo Grado:
Estándar 1 — Sentido Numérico
La comprensión del sistema numérico es la base de las matemáticas. Los estudiantes continúan ampliando su comprensión hasta incluir números irracionales, tales como π y la raíz cuadrada del 2. Ellos comparan y ponen en orden números racionales e irracionales y convierten decimales terminales a fracciones. También usan exponentes para escribir números enteros en anotaciones científicas y para escribir las factorizaciones prima de los números.
Estándar 2 — Cálculo Aritmético
La fluidez en el cálculo aritmético es fundamental. Los estudiantes suman, restan, multiplican y dividen números enteros, fracciones y decimales. Resuelven problemas usando porcentajes, que incluyen el cálculo de descuentos, margen de ganancias y comisiones. Utilizan el cálculo mental para calcular fracciones, decimales y potencias simples.
Estándar 3 — Álgebra y sus Funciones
El álgebra es un lenguaje de patrones, reglas y símbolos. En este nivel, los estudiantes usan las variables y otros símbolos para traducir las descripciones verbales a ecuaciones y fórmulas. Escriben y resuelven ecuaciones y desigualdades lineales, y escriben y usan fórmulas para resolver problemas. También usan las propiedades de los números racionales para evaluar y simplificar expresiones algebraicas, y extienden más aun su conocimiento de los gráficos al investigar las tasas de cambio para funciones lineales y no lineales y al desarrollar y usar el concepto de la pendiente de una línea recta.
Estándar 4 — Geometría
Los estudiantes aprenden sobre figuras geométricas y desarrollan un sentido del espacio. Conectan la geometría a gráficos coordenados, usándolos para trazar formas, calcular el largo y el área y para buscar imágenes bajo transformaciones. Comprenden el Teorema de Pitágoras y lo usan para buscar longitudes en triángulos rectos. Ellos también construyen redes (patrones bidimensionales) para objetos tridimensionales, tales como prismas, pirámides, cilindros y conos.
Estándar 5 — Las Medidas
El estudio de las medidas es fundamental debido a su uso en muchos de los aspectos de la vida diaria. Los estudiantes toman medidas para comparar longitudes, áreas, volúmenes, pesos, tiempos, temperaturas, etc. Desarrollan el concepto de semejanza y lo usan para hacer dibujos en escala y modelos en escala y para resolver problemas relacionados a esos dibujos y modelos. Determinan las áreas y perímetros de figuras bidimensionales y volúmenes y áreas de la superficie de formas de tridimensionales, como las figuras irregulares compuestas de formas más básicas.
Estándar 6 — Análisis de Datos y Probabilidad
Las estadísticas nos rodean en periódicos y revistas, en las noticias y anuncios de televisión, en el control de calidad manufacturera y los estudiantes tienen que aprender cómo entender estas representaciones. En este nivel, ellos aprenden cómo representar los datos en gráficos de barras, lineales y circulares y en diagramas en forma de árbol. Analizan las representaciones de datos para determinar si son engañosas y analizan el vocabulario de las preguntas en una encuesta para determinar si éstas pueden influenciar los resultados. Buscan la probabilidad en sucesos desconectados. También ellos buscan el número de arreglos de objetos usando un diagrama en forma de árbol.
Estándar 7 — Solución de Problemas
En términos generales, las matemáticas es resolución de problemas. En todas las matemáticas los estudiantes usan las destrezas para resolver problemas: escogen cómo enfrentarse con un problema, explican su razonamiento y verifican sus resultados. Al ir desarrollando sus destrezas con los números irracionales, al analizar gráficos, o al buscar el área de las superficies, por ejemplo, los estudiantes pasan de ideas simples a unas más complejas dando los pasos lógicos que conducen a una mejor comprensión de las matemáticas.
Como parte de su instrucción y evaluación diagnóstica para completar el Grado 12, los estudiantes deberán además desarrollar las siguientes destrezas de aprendizaje, que se van entretejiendo con los estándares de las matemáticas:
Comunicación
La habilidad de leer, escribir, escuchar, preguntar, pensar y comunicar sobre matemáticas desarrollará y aumentará la comprensión de los estudiantes sobre los conceptos matemáticos. Los estudiantes deberán leer el texto, datos, tablas y gráficos con comprensión y entendimiento. Su escritura deberá ser detallada y coherente, y deberán usar el vocabulario matemático correcto. Los estudiantes deberán escribir para explicar las respuestas, justificar el razonamiento matemático y describir los métodos para resolver problemas.
Razonamiento y Prueba
Las matemáticas se desarrollan mediante el uso de ideas y conceptos conocidos para desarrollar otros. La suma repetida se convierte en la multiplicación. La multiplicación de números menores de diez se puede extender a números menores de cien y luego al sistema numérico completo. El conocimiento para calcular el área de un triángulo recto se extiende a todos los triángulos rectos. Extender patrones, encontrar números enteros, desarrollar fórmulas y probar el Teorema de Pitágoras son ejemplos de razonamiento matemático. Los estudiantes deberán aprender a observar, a generalizar, a hacer suposiciones basadas en la información conocida y a probar esas suposiciones.
Representación
El lenguaje matemático se expresa en palabras, símbolos, fórmulas, ecuaciones, gráficas y representaciones de datos. El concepto de un cuarto puede describirse como un cuarto, ¼, uno dividido par cuatro, 0.25, ⅛ + ⅛, 25 por ciento, o una porción sombreada correctamente en un gráfico en forma de pastel. Las matemáticas a niveles más altos implican el uso de representaciones más complejas: exponentes, logaritmos, π, incógnitas, representaciones de estadísticas, expresiones algebraicas y geométricas. Las operaciones matemáticas se expresan como representaciones: +, =, división, cuadrado. Las representaciones son instrumentos dinámicos para resolver problemas y comunicar y expresar las ideas y conceptos matemáticos.
Conexiones
La conexión de conceptos matemáticos incluye enlazar ideas nuevas con ideas relacionadas aprendidas anteriormente, lo cual ayuda a los estudiantes a ver las matemáticas como un conjunto de conceptos unificados que se desarrollan unos sobre otros. Se debe dar mayor énfasis a las ideas y conceptos entre las áreas de contenido matemático que ayudan a los estudiantes a ver las matemáticas como una red de ideas estrechamente conectadas (el álgebra, geometría, el sistema numérico ). Las matemáticas son también la lengua común de muchas otras disciplinas (ciencias, tecnología, finanzas, ciencias sociales, geografía) y los estudiantes deberán aprender los conceptos matemáticos usados en esas disciplinas. Finalmente, los estudiantes deberán establecer una conexión entre su aprendizaje matemático y los contextos apropiados de la vida real.
Estándar 1Sentido Numérico
Los estudiantes comprenden y usan la notación científica* y raíces cuadradas. Hacen conversiones entre fracciones y decimales.
7.1.1 Leer, escribir, comparar y resolver problemas usando números enteros en notación científica.Ejemplo: Escribe 300,000 en notación científica.
7.1.2 Comparar y poner números racionales* e irracionales* comunes en orden y colocarlos en una línea numérica.Ejemplo: Coloca en orden: -2, , -2.45, 0.9, π , -1 .
7.1.3 Identificar números racionales e irracionales comunes en una lista.Ejemplo: Menciona todos los números irracionales en esta lista: -2, , -2.45, 0.9, π , -1 .
7.1.4 Comprender y calcular la potencia entera de un número entero en números enteros.Ejemplo: 35 = 3 ´ 3 ´ 3 ´ 3 ´ 3 = ?
7.1.5 Buscar la factorización prima* de números enteros y escribir los resultados usando exponentes. Ejemplo: 24 = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 = 23 ´ 3.
7.1.6 Comprender y usar el concepto de la raíz cuadrada. Ejemplo: Explica cómo se puede encontrar el largo de la hipotenusa de un triángulo recto con lados que miden 5 cm y 12 cm.
7.1.7 Convertir decimales terminales* a fracciones reducidas. Ejemplo: Escribe 0.95 como una fracción.
* notación científica: manera corta de escribir números, al elevarlos a la décima potencia (por ej.: 300,000 = 3 ´ 105)
* número racional: cualquier número que pueda expresarse como una fracción (por ej.: , , )
* número irracional: cualquier número que no pueda expresarse como una fracción (por ej.: π, , 7π)
* factores primos: por ej. los factores primos del 12 son 2 y 3, los dos números primos que dividen al 12
* decimales terminales: decimales que no continúan indefinidamente (por ej., 0.362, 34.1857)
Estándar 2Cálculo Aritmético
Los estudiantes resuelven problemas con números enteros*, fracciones, decimales, razones y porcentajes.
7.2.1 Resolver problemas de suma, resta, multiplicación y división con números enteros, fracciones, decimales y combinaciones de las cuatro operaciones. Ejemplo: La temperatura un día es 5º. Luego baja por 3º cada día durante 4 días y, después sube 2º cada día durante tres días. ¿Cuál es la temperatura el último día? Explica tu método.
7.2.2 Calcular el aumento en el porcentaje y disminución en una cantidad.Ejemplo: La población de un país era 36 millones en 1990 y subió a 41.4 millones durante la década de 1990. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la población?
7.2.3 Resolver problemas que incluyan descuentos, margen de ganancias y comisiones. Ejemplo: Un comerciante compra discos compactos por $11 al por mayor y les pone un margen de ganancia de 35%. ¿Cuál es el precio al por menor?
7.2.4 Usar aproximaciones para decidir si las respuestas a problemas que incluyen fracciones y decimales son razonables.Ejemplo: Tu amigo dice que 3 ´ 2 = 10. Sin resolverlo, explica por qué crees que la respuesta es incorrecta.
7.2.5 Utilizar el cálculo mental para hacer cálculos con fracciones, decimales y potencias simples. Ejemplo: Busca 34 sin usar lápiz ni papel.
* números enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Estándar 3Álgebra y sus Funciones
Los estudiantes expresan relaciones cuantitativas usando la terminología algebraica, expresiones, ecuaciones, desigualdades y gráficas.
7.3.1 Usar variables y operaciones apropiadas para escribir una expresión, una fórmula, una ecuación, o una desigualdad que represente una descripción verbal. Ejemplo: Escribe en símbolos la desigualdad: 5 menos que el doble del número es mayor que 42.
7.3.2 Escribir y resolver ecuaciones lineales de dos pasos y desigualdades en una variable y verificar la respuesta.Ejemplo: Resuelve la ecuación 4x - 7 = 12 y verifica tu respuesta en la ecuación original.
7.3.3 Usar la terminología algebraica correcta, como variable, ecuación, término, coeficiente*, desigualdad, expresión y constante.Ejemplo: Di cuál es la variable, términos y coeficiente en esta ecuación: 7x + 4 = 67.
7.3.4 Evaluar expresiones numéricas y simplificar expresiones algebraicas aplicando el orden correcto de las operaciones y las características de los números racionales* (por ej.: propiedades identidad, inverso, conmutativo*, asociativo*, distributivo*). Justificar cada paso en el proceso.Ejemplo: Simplifica 3(4x + 5x - 1) + 2(x + 3) al quitar el paréntesis y reorganizar los elementos. Explica cada que das.
7.3.5 Resolver una ecuación o fórmula con dos variables para una variable en particular.Ejemplo: Resuelve la fórmula C = 2πr para la r.
7.3.6 Definir una pendiente como el cambio vertical por unidad del cambio horizontal y reconocer que una línea recta tiene una pendiente o tasa de cambio constante.Ejemplo: Examina una tabla de valores y haz una conjetura sobre si la tabla representa una función lineal.
7.3.7 Buscar la pendiente de una línea en su gráfico.Ejemplo: Dibuja el gráfico para y = 2x - 1. Selecciona dos puntos en el gráfico y divide el cambio en el valor de y por el cambio en el valor de x. Repite esto con otras parejas de puntos en el gráfico. ¿Qué observas?
7.3.8 Dibujar el gráfico para una línea, dados la pendiente y un punto en la línea, o dos puntos en la línea. Ejemplo: Dibuja el gráfico de la ecuación con una pendiente de 3 y pasando a través del punto con las coordenadas (0, -2).
7.3.9 Identificar las funciones como lineales o no lineales y examinar sus características en tablas, gráficos y ecuaciones. Ejemplo: Una planta crece más rápido de acuerdo con la fórmula H = 2d + 3, donde H es la altura después de d días. Dibuja el gráfico de esta función y explica lo que representa el punto donde ésta se encuentra con el eje vertical. ¿Es éste un gráfico lineal o no lineal?
7.3.10 Identificar y describir situaciones con tasas de cambio constantes o variables y saber que una tasa de cambio constante describe una función lineal. Ejemplo: En el último ejemplo, ¿cómo diferiría el gráfico si la velocidad de crecimiento de la planta cambiara?
* coeficiente: por ej.: 7 es el coeficiente en 7x
* número racional: cualquier número que pueda expresarse como una fracción (por ej.: , , )
* propiedad conmutativa: el orden al sumar o multiplicar números no importa (por ej.: 5 + 3 = 3 + 5), pero nótese que esto no es cierto en la resta o la división
* propiedad asociativa: la agrupación de los números al sumar y multiplicar no importa (por ej.: en 5 + 3 + 2, sumar 5 y 3 y luego sumar 2 es igual que 5 sumado a 3 + 2), pero nótese que esta regla no es válida para la resta o la división
* propiedad distributiva: por ej.: 3(5 + 2) = (3 ´ 5) + (3 ´ 2)
Estándar 4Geometría
Los estudiantes intensifican su conocimiento de las figuras geométricas planas y sólidas al construir figuras que satisfagan las condiciones dadas y al identificar los atributos de las figuras.
7.4.1 Comprender las gráficas coordenadas y usarlas para trazar figuras simples, para buscar el largo y el área relacionados a las figuras y buscar sus imágenes bajo traslaciones (deslizamientos), rotaciones (giros) y reflexiones (reveses).Ejemplo: Dibuja el triángulo con vértices (0, 0), (3, 0) y (0, 4). Busca el largo de los lados y el área del triángulo. Traslada (desliza) el triángulo 2 unidades hacia la derecha. ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo triángulo?
7.4.2 Comprender que transformaciones como los deslizamientos, rotaciones y reveses conservan el largo de los segmentos y que las figuras resultantes de los deslizamientos, rotaciones y reveses son congruentes con las figuras originales.Ejemplo: En el último ejemplo, busca el largo de los lados y el área del nuevo triángulo. Explica tus resultados.
7.4.3 Conocer y comprender el Teorema de Pitágoras y usarlo para buscar el largo del lado que falta en un triángulo recto y el largo de otros segmentos lineales. Tomar las medidas directamente para probar las conjeturas sobre los triángulos. Ejemplo: Usa el largo y ancho de tu salón de clases para calcular la distancia diagonal a través del salón. Verifica tu cálculo al medirla.
7.4.4 Construir patrones bidimensionales (redes) para objetos tri-dimensionales como prismas rectos*, pirámides, cilindros y conos. Ejemplo: Dibuja un rectángulo y dos círculos que encajen unos con otros para convertirse en un cilindro.
* congruente: con la misma forma y tamaño
* prisma recto: una figura tri-dimensional con dos caras congruentes que son polígonos y los demás lados son rectángulos
Estándar 5Las Medidas
Los estudiantes comparan las unidades de medir y usan la semejanza* para resolver problemas. Calculan el perímetro, el área y el volumen de objetos geométricos comunes y usan los resultados para buscar las medidas de objetos menos regulares.
7.5.1 Comparar los largos, áreas, volúmenes, pesos, capacidades, tiempos y temperaturas dentro de los sistemas de medidas.Ejemplo: El área del campo de tu escuela es 3 acres. ¿Cuántas yardas cuadradas es eso? Explica tu método.
7.5.2 Usar la experimentación y el modelaje para visualizar problemas de semejanza. Resolver problemas usando la semejanza. Ejemplo: A cierta hora, la sombra de tu edificio escolar es de 36 pies de largo. A la misma hora la sombra de una yarda de medir sujetada verticalmente es de 4 pies de largo. ¿Qué altura tiene el edificio escolar?
7.5.3 Interpretar y crear dibujos hechos a escala, construir modelos a escala y resolver problemas relacionados con las escalas.Ejemplo: En un plano de tu escuela, el salón de clases mide 5 cm de largo y 3 cm de ancho. El salón realmente mide 10 m de largo. ¿Qué anchura tiene el salón? Explica tu respuesta.
7.5.4 Usar fórmulas para buscar el perímetro y el área de figuras bi-dimensionales básicas y el área de la superficie y volumen de figuras tri-dimensionales básicas, que incluyen rectángulos, paralelogramos*, trapecios*, triángulos, círculos, prismas rectos* y cilindros. Ejemplo: Busca el área de la superficie de una lata cilíndrica de 15 cm de alto y un diámetro de 8 cm.
7.5.5 Hacer estimaciones y calcular el área de figuras bi-dimensionales más complejas o irregulares al dividirlas en figuras más básicas.Ejemplo: Un salón para alfombrarse es un rectángulo de 5 m por 4 m. Una chimenea semicircular de 1.5 m de diámetro ocupa parte del piso. Busca el área que va a alfombrarse.
7.5.6 Usar objetos y herramientas de modelaje geométrico para calcular el área de la superficie de las caras y el volumen de un objeto tri-dimensional formado por sólidos rectangulares. Ejemplo: Usando bloques, construye un modelo de un edificio de apartamentos. Busca su volumen y el área total de la superficie.
* similares: figuras que tienen la misma forma pero pueden no tener el mismo tamaño
* paralelogramo: una figura de cuatro lados cuyos lados opuestos son paralelos entre sí
* trapecio: una figura de cuatro lados que tiene paralelos solamente dos de sus lados
* prisma recto: una figura tri-dimensional con dos caras congruentes que son polígonos y los demás lados son rectángulos
Estándar 6Análisis de Datos y Probabilidad
Los estudiantes recogen, organizan y representan conjuntos de datos e identifican las relaciones entre las variables dentro de un conjunto de datos. Ellos determinan las probabilidades y las usan para hacer predicciones sobre sucesos.
7.6.1 Analizar, interpretar y demostrar datos en gráficos de barra, lineales o circulares y diagramas en forma de árbol* y justificar la elección para hacer la demostración.Ejemplo: Haces una encuesta entre los estudiantes de tu escuela para determinar cuál de los tres diseños de la portada de una revista prefieren ellos. Para demostrar los resultados, ¿cuál sería la forma más apropiada: una tabla de barras o un gráfico circular? Explica tu respuesta.
7.6.2 Hacer predicciones usando estadísticas. Ejemplo: Registra la temperatura y condiciones del tiempo (soleado, nublado, o lluvioso) a la 1 de la tarde diariamente por dos semanas. Durante la tercera semana, utiliza tus resultados para predecir la temperatura basada en las condiciones del tiempo.
7.6.3 Describir cómo los datos adicionales, principalmente los traídos de afuera, al añadirlos a un conjunto de datos podrían afectar la media*, la mediana* y la moda* .Ejemplo: Mides la estatura de los estudiantes en tu clase el día en que el equipo de baloncesto juega fuera del pueblo. Más tarde, mides a los jugadores del equipo y los incluye en tus datos. ¿Qué efecto tendrá en la media, la mediana y la moda la inclusión del equipo? Explica tu respuesta.
7.6.4 Analizar las tablas de datos y las maneras en que éstas pueden ser engañosas. Analizar los modos en que las palabras usadas en las preguntas pueden influenciar los resultados de una encuesta. Ejemplo: Un gráfico de barra sobre las ventas de una compañía parece mostrar que las ventas han subido más del doble desde el año pasado. Luego observas que el eje vertical comienza en $5 millones y puede ver que las ventas de hecho han aumentado de $5.5 millones a $6.2 millones.
7.6.5 Saber que si la P es la probabilidad de que un suceso ocurra, entonces 1 - P es la probabilidad de que ese suceso no ocurra.Ejemplo: El pronóstico del tiempo dice que la probabilidad de lluvia hoy es 0.3. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva?
7.6.6 Comprender que la probabilidad de que ocurran dos sucesos desconectados* es igual a la suma de dos probabilidades individuales.Ejemplo: Busca la probabilidad de sacar un 9 al tirar dos dados. Busca también la probabilidad de sacar un 10. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 9 ó un 10?
7.6.7 Buscar el número de posibles arreglos de algunos objetos usando un diagrama en forma de árbol. Ejemplo: Una placa de licencia de un estado contiene 6 dígitos y una letra. ¿Cuántas placas diferentes podrían hacerse si la letra tuviera que estar siempre en la tercera posición y el primer dígito no pudiera ser un cero?
* diagrama en forma de árbol: éste muestra 62, 63, 67, 71, 75, 75, 76, etc.
Tallo Hoja
6 2 3 7
7 1 5 5 6 8 9
8 0 1 1 2 3 3 5 7 8 8
9 1 2 2 3 3 4
* media: el promedio obtenido al sumar los valores y dividir por el número de valores
* mediana: el valor que divide un conjunto de datos escritos en orden de tamaño en dos partes iguales
* moda: el valor más común dentro de un sistema de datos
* sucesos desconectados (aislados): sucesos que no pueden ocurrir a la misma vez
Estándar 7Solución de Problemas
Los estudiantes toman decisiones sobre cómo enfrentarse con los problemas y comunicar sus ideas.
7.7.1 Analizar los problemas identificando las relaciones, identificando la información pertinente, identificando la información que falta, poniendo la información en orden secuencial y de prioridad y observando los patrones.Ejemplo: Resuelve este problema: Los primeros tres números triangulares se muestran en el diagrama siguiente. Busca una expresión para calcular el enésimo número triangular.
1 3 6
Busca los patrones.
7.7.2 Hacer y justificar conjeturas matemáticas basadas en la descripción general de una pregunta o problema matemático.Ejemplo: En el primer ejemplo, observa que tres puntos hacen un triángulo equilátero para el número 3 y que seis puntos hacen el próximo triángulo equilátero.
7.7.3 Decidir cuándo y cómo dividir el problema en partes más simples. Ejemplo: En el primer ejemplo, haz un diagrama para el cuarto y quinto número triangular.
Los estudiantes usan métodos, destrezas, y conceptos para buscar y comunicar las soluciones a los problemas.
7.7.4 Aplicar los métodos y resultados obtenidos en problemas más simples para resolver problemas más complejos. Ejemplo: En el primer ejemplo, haz una lista de las diferencias entre cualesquiera dos números triangulares.
7.7.5 Hacer y comprobar conjeturas usando el razonamiento inductivo.Ejemplo: En el primer ejemplo, predice la diferencia entre los números quinto y sexto y usa esto para predecir el sexto número triangular. Haz un diagrama para comprobar tu conjetura.
7.7.6 Expresar la solución clara y lógicamente usando los términos y notación matemáticos apropiados. Apoyar las soluciones con evidencia en forma verbal y simbólica. Ejemplo: En el primer ejemplo, usa palabras, números y tablas para resumir tu trabajo con números triangulares.
7.7.7 Reconocer las ventajas relativas de las soluciones exactas y aproximadas a los problemas y dar respuestas hasta un grado específico de exactitud. Ejemplo: Calcula la cantidad de aluminio necesaria para hacer una lata con un diámetro de 10 cm que tenga 15 cm de alto y 1 mm de grueso. Usa π como 3.14 y da tu respuesta hasta la exactitud apropiada.
7.7.8 Seleccionar y usar los métodos apropiados para estimar los resultados de los cálculos de números racionales.Ejemplo: Mide las dimensiones de una piscina para buscar su volumen. Da una respuesta aproximada al usar una profundidad mediana.
7.7.9 Hacer gráficos para estimar las soluciones y verificar los estimados mediante medios analíticos.Ejemplo: Usa una calculadora de gráficas para determinar el punto en que se cruzan las líneas rectas y = 2x + 3 y x + y = 10. Confirma tu respuesta verificándola en las ecuaciones.
7.7.10 Hacer cálculos precisos y verificar la validez de los resultados en el contexto del problema.Ejemplo: En el primer ejemplo, comprueba que tus resultados posteriores están de acuerdo con los anteriores. De no ser así, haz los cálculos nuevamente para asegurarte.
Los estudiantes determinan cuándo una solución está completa y es razonable y va más allá de un problema en particular haciendo una generalización para otras situaciones.
7.7.11 Decidir si una solución es razonable en el contexto de la situación original.Ejemplo: En el primer ejemplo, calcula el décimo número triangular y dibuja el triángulo de puntos que le corresponda.
7.7.12 Observar el método para encontrar la solución y demostrar conocimiento conceptual del método al resolver problemas similares.Ejemplo: Usa tu método en el primer ejemplo para investigar los números pentagonales.
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